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x y z 3/2

截立方体：0 x 1,0 y 1,0 z 1的表面所得的接痕，从x轴的正向看

法，取逆时针方向.

解 取 为题设平面的上侧被 所围成部分，则该平面的法向量n {1,1,3}

cos cos cos 3,

3,即

3 x

1 y

2

3 z

2

3

dS

2

原式

z

2

y zy x

2

x y

2

4

3 4

(x

3

y z)dS

32

dS 23

Dxy

3dxdy

92

.

例3（E02）计算(y2 z2)dx (x2 z2)dy (x2 y2)dz, 式中 是

x y z 2Rx,x y 2rx(0 r R,z 0).

2

2

2

2

2

此曲线是顺着如下方向前进的: 由它所包围在球面x2 y2 z2 2Rx上的最小区域保持在左方.

解 由斯托克斯公式，有

原式 2 [(y z)cos (z x)cos (x y)cos ]dS

yz x (y z) 1 (z x) (x y) dS

RR R

2 (z y)dS(利用对称性)

zdS

Rcos dS

Rdxdy R

2

d rR..

2

2

x y 2rx

例5（E03）设u x2y 2xy2 3yz2, 求gradu； div(gradu)；rot(gradu). 解 gradu

u u u

,, {2xy,4xy, 6yz}. x y z

div(gradu)

(2xy) (4xy) ( 6yz)

2y 4x 6y 4(x y).

x y z