经典例题,个人收集,分享与大家。

2

2

2

xdy ydxx y

2

2

L

0;

(2) 当(0,0) D时，作位于D内圆周

l:x y r,记D1由L和l所围成,应用格林公式，得

xdy ydxx y

2

2

L

xdy ydxx y

2

2

l

0.

2

2

2

2

故xdy ydxx y

2

2

L

xdy ydxx y

2

2

l

2 0

rcos rsin

r

2

d

2 0

d 2 .

例6（E04）求椭圆x acos ，y bsin 所围成图形的面积A. 解 所求面积

A

12xdy ydx

1

L

2

2 0

(abcos absin )d

22

12

ab

2 0

d ab.

例7 计算抛物线(x y)2 ax(a 0)与x轴所围成的面积. 解 ONA为直线y 0.曲线AMO为 y ax x,x [0,a].

A

1212

a

xdy ydx

AMO

12

xdy ydx

ONA

12

xdy ydx

AMO

xdy ydx

AMO

1

a

dx (ax x)dxx 1 2a 2ax

4

a0

xdx

16

a.

(6,8)

2

例10（E06）计算

xdx ydyx

2

,积分沿不通过坐标原点的路径.

(1,0)

y

2

解 显然,当(x,y) (0,0)时，

xdx ydyx y

2

2

dx y,

22

于是

(6,8)(1,0)

xdx ydyx y

2

2

(6,8)

d

(1,0)

x y

22

x y

2

2(6,8)

(1,0)

9.

例 12 验证: 在整个xOy面内, xy2dx x2ydy是某个函数的全微分, 并求出一个这样 的函数.

证2 利用原函数法求全微分函数u(x,y). 由

u y

xy

2

u xydx

2

xy2

22

(y),

其中 (y)是y的待定函数.由此得