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设光滑曲面 ：z z(x,y)，与平行于z轴的直线至多交于一点，它在xOy面上的投影区域为Dxy, 则.

R(x,y,z)dxdy

R[x,y,z(x,y)]dxdy

Dyz

. (5.9)

上式右端取“+”号或“-”号要根据 是锐角还是钝角而定.

内容要点

一、高斯公式

定理1设空间闭区域 由分片光滑的闭曲面 围成，函数P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在 上具有一阶连续偏导数，则有公式

P Q R x dv y z

Pdydz

Qdzdx Rdxdy

(6.1)

这里 是 的整个边界曲面的外侧, cos ,cos ,cos 是 上点(x,y,z)处的法向量的方向余弦. (6.1)式称为高斯公式.

若曲面 与平行于坐标轴的直线的交点多余两个，可用光滑曲面将有界闭区域 分割成若干个小区域，使得围成每个小区域的闭曲面满足定理的条件，从而高斯公式仍是成立的.

此外，根据两类曲面积分之间的关系，高斯公式也可表为

P Q R x dv y z

(Pcos

Qcos Rcos )dS.

二、通量与散度

一般地，设有向量场

A(x,y,z) P(x,y,z)i Q(x,y,z)j R(x,y,z)k,

其中函数P、Q、R有一阶连续偏导数， 是场内的一片有向曲面，n 是曲面 的单位法向量. 则沿曲面 的第二类曲面积分

A dS

A ndS

Pdydz

Qdzdx Rdxdy

称为向量场A通过曲面 流向指定侧的通量. 而

P x

Q y

R z

称为向量场A

的散度，记为divA，即

P Q RdivA

x y z

. (6.5)

例4（E04）证明: 若 为包围有界域 的光滑曲面, 则

v udV

v

u n

dS

u v u v u v x x y y z z dV