经典例题,个人收集,分享与大家。

n

f(P)d lim

0

i 1

f(Pi) i.

其中 称为积分区域, f(P)称为被积函数, P称为积分变量, f(P)d 称为被积表达式, d 称为 的度量微元.

点函数积分具有如下物理意义: 设一物体占有有界闭区域 , 其密度为 f(P)(P ),则该物体的质量

M

f(P)d ,(f(P) 0)

特别地, 当f(P) 1时, 有

n

d

lim

0

i 1

i

(度量).

如果点函数f(P)在有界闭区域 上连续, 则f(P)在 上可积.

二、点函数积分的性质

设f(P),g(P)在有界闭区域 上都可积, 则有 性质1 [f(P) g(P)]d

f(P)d

g(P)d .

性质2 性质3

kf(P)d k

f(P)d (k为常数)

f(P)d

1

f(P)d

2

f(P)d ,

其中 1 2 ,且 1与 2无公共内点. 性质4 若f(P) 0,P , 则 f(P)d 0.

性质5 若f(P) g(P),P , 则 f(P)d

g(P)d .

特别地, 有

f(P)d

|

f(P)|d .

性质6 若f(P)在积分区域 上的最大值为M, 最小值为m, 则

m

f(P)d M .

*

性质7 (中值定理)若f(P)在有界闭区域 上连续, 则至少有一点P ,使得

f(P)d f(P) .

*