经典例题,个人收集,分享与大家。

ds r r d

22

r

2

asin

r

2

42

2

2

d

a

2

r

d .

所以

L

|y|ds 4 4rsin

a

r

d 4a

2

4

sin d 2(2 2)a.

2

内容要点

一、引例：设有一质点在xOy面内从点A沿光滑曲线弧L移动到点B,在移动过程中，这质点受到力

F(x,y) P(x,y)i Q(x,y)j

(2.1)

的作用，其中P(x,y)，Q(x,y)在L上连续. 试计算在上述移动过程中变力F(x,y)所作的功.

二、 第二类曲线积分的定义与性质：A(x,y) P(x,y)i Q(x,y)j

L

A tds

L(Pcos

Qcos )ds

平面上的第二类曲线积分在实际应用中常出现的形式是

LP(x,y)dx LP(x,y)dx

Q(x,y)dy

LP(x,y)dx LQ(x,y)dy

；

性质1 设L是有向曲线弧, L是与L方向相反的有向曲线弧，则

Q(x,y)dy P(x,y)dx Q(x,y)dy

L

即第二类曲线积分与积分弧段的方向有关.

性质2 如设L由L1和L2两段光滑曲线组成，则

LPdx

Qdy

L

Pdx Qdy

1

L

Pdx Qdy

2

.

三、第二类曲线积分的计算：x x(t), y y(t),

L

P(x,y)dx Q(x,y)dy

{P[x(t),y(t)]x (t) Q[x(t),y(t)]y (t)}dt. (2.9)

如果曲线L的方程为 y y(x),起点为a, 终点为b，则

L L

内容要点 一、格林公式

Pdx Qdy

a{P[x,y(x)] Q[x,y(x)]y (x)}dx. c{P[x(y),y]x (y) Q[x(y),y]}dy.

d

b

如果曲线L的方程为x x(y), 起点为c, 终点为d，则

Pdx Qdy

定理1 设闭区域D由分段光滑的曲线L围成，函数P(x,y)及Q(x,y)在D上具有一阶连续偏导数，则有

Q P x y dxdy

D

LPdx

Qdy

(3.1)