【高三总复习】2013高中数学技能特训：2-8 导数的实际应用(人教B版) 含解析 Word版含答案]

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·100%(其中f(t)为该任务的程度，t为学习时间)，且这类学习

4＋a·2－t任务中的某项任务满足f(2)＝60%.

(1)求f(t)的表达式，计算f(0)并说明f(0)的含义；

f t

(2)已知2x>xln2对任意x>0恒成立，现定义t为该类学习任务在t时刻的学习效率指数，研究表明，当学习时间t∈(1,2)时，学习效率最佳，当学习效率最佳时，求学习效率指数相应的取值范围．

3[解析] (1)∵f(t)＝·100%(t为学习时间)，且f(2)＝60%，

4＋a·2－则

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·100%＝60%，解得a＝4.

4＋a·2－33∴f(t)＝100%＝100%(t≥0)，

4＋a·2－4 1＋2－ ∴f(0)＝

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·100%＝37.5%，

4 1＋2－

f(0)表示某项学习任务在开始学习时已掌握的程度为37.5%. f t

(2)令学习效率指数t＝y， f t 则y＝t＝

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tt>0)， 4t 1＋2－

4 t＋2t

现研究函数g(t)＝t＋2

2t－t·2tln22t－tln2＋1

由于g′(t)＝1＋t>0)， 2 2 又已知2x>xln2对任意x>0恒成立，即2t－tln2>0，则g′(t)>0恒成立，

∴g(t)在(0，＋∞)上为增函数，且g(t)为正数．