2005年考研数学(一)试题及答案解析资源来自电驴VeryCD

(n 1)S2

~ 2(n 1)是常考知识点，应当牢记. ~t(n 1)、2

n

完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.575【习题五，2.(3)】

三 、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） （15）（本题满分11分） 设D {(x,y)x y 大整数. 计算二重积分

2

2

2,x 0,y 0}，[1 x2 y2]表示不超过1 x2 y2的最

22

xy[1 x y]dxdy. D

【分析】 首先应设法去掉取整函数符号，为此将积分区域分为两部分即可.

【详解】 令 D1 {(x,y)0 x y 1,x 0,y 0}，

22

D2 {(x,y)1 x y

22

2,x 0,y 0}.

则

22

xy[1 x y]dxdy= xydxdy 2 xydxdy D

D1

D2

=

2

sin cos d rdr 2 sin cos d r3dr

20

1

1

3

137 . 848

【评注】 对于二重积分（或三重积分）的计算问题，当被积函数为分段函数时应利用积分的可加性分区域积分. 而实际考题中，被积函数经常为隐含的分段函数，如取绝对值函数f(x,y)、取极值函数max{f(x,y,g(x,y)}以及取整函数[f(x,y]等等.

完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.295【例11.18~19】

（16）（本题满分12分） 求幂级数

( 1)n 1(1

n 1

1

)x2n的收敛区间与和函数f(x).

n(2n 1)

【分析】 先求收敛半径，进而可确定收敛区间. 而和函数可利用逐项求导得到.

【详解】 因为lim

(n 1)(2n 1) 1n(2n 1)

1，所以当x2 1时，原级数绝

n (n 1)(2n 1)n(2n 1) 1

对收敛，当x 1时，原级数发散，因此原级数的收敛半径为1，收敛区间为（－1,1）

1

( 1n )

记 S(x)

2 n 12n(n

2

,1)x, x (，1

1)

2n

( 1)n 12n 1

则 S (x) x,x ( 1,1)，

n 12n 1