2005年考研数学(一)试题及答案解析资源来自电驴VeryCD

S (x) ( 1)n 1x2n 2

n 1

1

,x ( 1,1). 2

1 x

)由于 S(0

所以 S (x)

, (0S0 )

x

S (t)dt

1

dt arctanx,

01 t2

x

S(x)

x

x1

S(t)dt arctantdt xarctanx ln(1 x2).

02

又

( 1)

n 1

n 1

x2

x ,x ( 1,1), 2

1 x

2n

x2

从而 f(x) 2S(x) 2

1 x

x2

2xarctanx ln(1 x) ,x ( 1,1).

1 x2

2

【评注】 本题求收敛区间是基本题型，应注意收敛区间一般只开区间. 而幂级数求和

xnn 1

尽量将其转化为形如 或 nx幂级数，再通过逐项求导或逐项积分求出其和函数.

n 1n 1n

完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.225【例8.26】

（17）（本题满分11分）

如图，曲线C的方程为y=f(x)，点(3,2)是它的一个拐点，直线l1与l2分别是曲线C在点(0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4). 设函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积分

3

(x2 x)f (x)dx.

【分析】 题设图形相当于已知f(x)在x=0的函数值与导数值，在x=3处的函数值及一阶、二阶导数值.

【详解】 由题设图形知，f(0)=0, f (0) 2; f(3)=2, f (3) 2,f (3) 0. 由分部积分，知

3

(x2 x)f (x)dx (x2 x)df (x) (x2 x)f (x)

330

f (x)(2x 1)dx

3

=

3

(2x 1)df (x) (2x 1)f (x)

30

2 f (x)dx

3

=16 2[f(3) f(0)] 20.

【评注】 本题f(x) 在两个端点的函数值及导数值通过几何图形给出，题型比较新颖，