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（III） 求方程f(x1,x2,x3)=0的解.

【分析】 （I）根据二次型的秩为2，可知对应矩阵的行列式为0，从而可求a的值；（II）是常规问题，先求出特征值、特征向量，再正交化、单位化即可找到所需正交变换； （III） 利用第二步的结果，通过标准形求解即可.

【详解】 （I） 二次型对应矩阵为

1 a1 a0 A 1 a1 a0， 02 0

a1 a0

由二次型的秩为2，知 A a1 a

00

0 0，得a=0.

2

110 （II） 这里A 110， 可求出其特征值为 1 2 2, 3 0. 002 1 0

解 (2E A)x 0，得特征向量为： 1 1 , 2 0 ，

0 1 1

解 (0E A)x 0，得特征向量为： 3 1 .

0

由于 1, 2已经正交，直接将 1, 2， 3单位化，得：

1 0 1

1 1

1 1, 0, 2 3 1

2 2 1 0 0

令Q 1

2 3 ，即为所求的正交变换矩阵，由x=Qy，可化原二次型为标准形：

2

f(x1,x2,x3)=2y12 2y2.

（III） 由f(x1,x2,x3)=2y1 2y2 0，得y1 0,y2 0,y3 k（k为任意常数）.

22

从而所求解为：x=Qy= 1

2

0 c

k c ，其中c为任意常数. 3 03 k 0

【评注】 本题综合考查了特征值、特征向量、化二次型为标准型以及方程组求解等多

个知识点，特别是第三部分比较新颖. 但仔细分析可以看出，每一部分均是大纲中规定的基