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求：（I） (X,Y)的边缘概率密度fX(x),fY(y)； （II）Z 2X Y的概率密度fZ(z).

【分析】 求边缘概率密度直接用公式即可；而求二维随机变量函数的概率密度，一般用分布函数法，即先用定义求出分布函数，再求导得到相应的概率密度.

【详解】 （I） 关于X的边缘概率密度

fX(x)=

=

2x dy,0 x 1,

f(x,y)dy= 0

其他. 0,

2x,0 x 1,

0,其他.

关于Y的边缘概率密度

fY(y)=

1dx,0 y 2,

y

f(x,y)dx= 2

其他. 0,

y0 y 2,

1 ,

= 2

其他. 0,

（II） 令FZ(z) P{Z z} P{2X Y z}， 1） 当z 0时，FZ(z) P{2X Y z} 0；

2） 当0 z 2时，FZ(z) P{2X Y z} =z

12

z; 4

3) 当z 2时，FZ(z) P{2X Y z} 1.

0,z 0, 12

即分布函数为： FZ(z) z z,0 z 2,

4 z 2. 1,

10 z 2, 1 z,

故所求的概率密度为：fZ(z) 2

其他. 0,

【评注】 本题属基本题型，只需注意计算的准确性，应该可以顺利求解.第二步求随机

变量函数分布，一般都是通过定义用分布函数法讨论.

完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.519【例2.38~39】, P.525【例2.45】

（23）（本题满分9分）

设X1,X2, ,Xn(n 2)为来自总体N(0,1)的简单随机样本，X为样本均值，记