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【详解】 （I）

如图，将C分解为：C l1 l2，另作一条曲线l3围绕原点且与C相接，则

(y)dx 2xydy

2x2 y4

C

(y)dx 2xydy

2x2 y4

l1 l3

(y)dx 2xydy

2x2 y4

l2 l3

0.

（II） 设P

(y)

2x2 y

,Q 4

2xy

，P,Q在单连通区域x 0内具有一阶连续偏导数，24

2x y

在该区域内与路径无关，故当x 0时，总有

由（Ⅰ）知，曲线积分

(y)dx 2xydy

2x2 y4

L

Q P

. x y

Q2y(2x2 y4) 4x 2xy 4x2y 2y5

, ① 242242 x(2x y)(2x y) P (y)(2x2 y4) 4 (y)y32x2 (y) (y)y4 4 (y)y3

. ② 242242 y(2x y)(2x y)

比较①、②两式的右端，得

③ (y) 2y,

435

　④ (y)y 4 (y)y 2y.

由③得 (y) y c，将 (y)代入④得 2y 4cy 2y, 所以c 0，从而 (y) y.

【评注】 本题难度较大，关键是如何将待求解的问题转化为可利用已知条件的情形.

第二部分完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.340【例13.18】 （20）（本题满分9分）

222已知二次型f(x1,x2,x3) (1 a)x1 (1 a)x2 2x3 2(1 a)x1x2的秩为2.

2

2

5

3

5

（I） 求a的值；

（II） 求正交变换x Qy，把f(x1,x2,x3)化成标准形；