2005年考研数学(一)试题分析详解(14)

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完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.468【例6.2（2）】，P.473【例6.9】

（21）（本题满分9分）

123

已知3阶矩阵A的第一行是(a,b,c),a,b,c不全为零，矩阵B 246（k为常数）， 36k

且AB=O, 求线性方程组Ax=0的通解.

【分析】 AB=O, 相当于告之B的每一列均为Ax=0的解，关键问题是Ax=0的基础解系所含解向量的个数为多少，而这又转化为确定系数矩阵A的秩.

【详解】 由AB=O知，B的每一列均为Ax=0的解，且r(A) r(B) 3.

（1）若k 9, 则r(B)=2, 于是r(A) 1, 显然r(A) 1, 故r(A)=1. 可见此时Ax=0的基础解系所含解向量的个数为3-r(A)=2, 矩阵B的第一、第三列线性无关，可作为其基础解系，

1 3

故Ax=0 的通解为：x k1 2 k2 6 ,k1,k2为任意常数.

3 k

(2) 若k=9，则r(B)=1, 从而1 r(A) 2.

1

1） 若r(A)=2, 则Ax=0的通解为：x k1 2 ,k1为任意常数.

3

2） 若r(A)=1,则Ax=0 的同解方程组为：ax1 bx2 cx3 0,不妨设a 0,则其通解

b c a a

为 x k1 1 k2 0 ,k1,k2为任意常数.

0 1

【评注】 AB=O这类已知条件是反复出现的，应该明确其引申含义：1）B 的每一列均为Ax=0的解；2）r(A) r(B) n.

本题涉及到对参数k及矩阵A的秩的讨论，这是考查综合思维能力的一种重要表现形

式，今后类似问题将会越来越多.

完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.438【例4.21】, P.389【例2.36】

（22）（本题满分9分）

设二维随机变量(X,Y)的概率密度为

f(x,y)

1,0 x 1,0 y 2x,

其他. 0,