2005年考研数学(一)试题及答案解析资源来自电驴VeryCD

2005年数学一试题分析、详解和评注

一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）

11x2

（1）曲线y 的斜渐近线方程为 y x .

242x 1

【分析】 本题属基本题型，直接用斜渐近线方程公式进行计算即可.

f(x)x21

lim2 ， 【详解】 因为a=lim

x x 2x xx2

b lim f(x) ax lim

x

x1

，

x 2(2x 1)4

于是所求斜渐近线方程为y

11x . 24

【评注】 如何求垂直渐近线、水平渐近线和斜渐近线，是基本要求，应熟练掌握。这

里应注意两点：1）当存在水平渐近线时，不需要再求斜渐近线；2）若当x 时，极限

a lim

x

f(x)

不存在，则应进一步讨论x 或x 的情形，即在右或左侧是否存x

在斜渐近线。

完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.192【例7.32】

（2） 微分方程xy 2y xlnx满足y(1)

111

的解为y xlnx x.. 939

【分析】直接套用一阶线性微分方程y P(x)y Q(x)的通解公式：

P(x)dxP(x)dx

y e [Q(x)e dx C]，

再由初始条件确定任意常数即可. 【详解】 原方程等价为

y

于是通解为 y e

=

2

y lnx， x

xdx

2

[ lnx e

xdx

2

dx C]

12

[xlnxdx C] 2 x

111

xlnx x C2， 39x111

由y(1) 得C=0，故所求解为y xlnx x.

939

【评注】 本题虽属基本题型，但在用相关公式时应注意先化为标准型. 另外，本题也

可如下求解：原方程可化为

xy 2xy xlnx，即 [xy] xlnx，两边积分得

2

2

2

2