2005年考研数学(一)试题及答案解析资源来自电驴VeryCD

综合考查了导数的几何意义和定积分的计算. 另外，值得注意的是，当被积函数含有抽象函数的导数时，一般优先考虑用分部积分.

完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.118【例4.36,4.30】

（18）（本题满分12分）

已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1. 证明：

（I）存在 (0,1), 使得f( ) 1 ；

（II）存在两个不同的点 , (0,1)，使得f ( )f ( ) 1.

【分析】 第一部分显然用闭区间上连续函数的介值定理；第二部分为双介值问题，可考虑用拉格朗日中值定理，但应注意利用第一部分已得结论.

【详解】 （I） 令F(x) f(x) 1 x，则F(x)在[0，1]上连续，且F(0)=-1<0, F(1)=1>0,于是由介值定理知，存在存在 (0,1), 使得F( ) 0，即f( ) 1 .

（II） 在[0, ]和[ ,1]上对f(x)分别应用拉格朗日中值定理，知存在两个不同的点

(0, ), ( ,1)，使得f ( )

f( ) f(0)f(1) f( )

，f ( )

01

于是 f ( )f ( )

f( )1 f( )1

1. 1 1

【评注】 中值定理的证明问题是历年出题频率最高的部分，而将中值定理与介值定理

或积分中值定理结合起来命题又是最常见的命题形式.

完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.128【例5.4】,P.151【例5.25】

（19）（本题满分12分）

设函数 (y)具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L上，曲线积分

(y)dx 2xydy

2x y

2

4

L

的值恒为同一常数.

（I）证明：对右半平面x>0内的任意分段光滑简单闭曲线C，有

(y)dx 2xydy

2x y

2

4

C

0；

（II）求函数 (y)的表达式.

【分析】 证明（I）的关键是如何将封闭曲线C与围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线相联系，这可利用曲线积分的可加性将C进行分解讨论；而（II）中求 (y)的表达式，显然应用积分与路径无关即可.