2005年考研数学(一)试题及答案解析资源来自电驴VeryCD

Yi Xi ,i 1,2, ,n.

求：（I） Yi的方差DYi,i 1,2, ,n； （II）Y1与Yn的协方差Cov(Y1,Yn).

【分析】 先将Yi表示为相互独立的随机变量求和，再用方差的性质进行计算即可；求

Y1与Yn的协方差Cov(Y1,Yn)，本质上还是数学期望的计算，同样应注意利用数学期望的运

算性质.

【详解】 由题设，知X1,X2, ,Xn(n 2)相互独立，且

EXi 0,DXi 1(i 1,2, ,n)，EX 0.

11n

（I）DYi D(Xi ) D[(1 )Xi Xj]

nnj i121

=(1 )DXi 2

nn

DX

j i

n

j

(n 1)21n 1 (n 1) . =

nn2n2

（II） Cov(Y1,Yn) E[(Y1 EY1)(Yn EYn)] =E(Y1Yn) E[(X1 )(Xn )] =E(X1Xn X1 Xn 2) =E(X1Xn) 2E(X1) E2

n

222

=0 E[X1 X1Xj] D (E)

nj 2

=

211 . nnn

【评注】 通过定义求随机变量的数字特征是基本要求，也是到目前为止考查最多的情

形，但读者还应注意利用数字特征的运算性质进行分析讨论，同样是求解数字特征的一个重要途径.

本题为文登学校辅导班上讲授过的原题（原题求相关系数，刚好是本题的两部分，请参见数理统计部分笔记）.