2005年考研数学(一)试题及答案解析资源来自电驴VeryCD

2u 2u

2成立，同样可找到正确选项(B). 2

x y

完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.267【例10.16】及习题十（第11题）

（10）设有三元方程xy zlny exz 1，根据隐函数存在定理，存在点(0,1,1)的一个邻域，在此邻域内该方程

(A) 只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z=z(x,y).

(B) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和z=z(x,y). (C) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数y=y(x,z)和z=z(x,y).

(D) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和y=y(x,z). [ D ]

【分析】 本题考查隐函数存在定理，只需令F(x,y,z)=xy zlny exz 1, 分别求出三个偏导数Fz,Fx,Fy，再考虑在点(0,1,1)处哪个偏导数不为0，则可确定相应的隐函数.

【详解】 令F(x,y,z)=xy zlny exz 1, 则 Fx y exzz， Fy x

z

，Fz lny exzx， y

且 Fx (0,1,1) 2，Fy (0,1,1) 1，Fz (0,1,1) 0. 由此可确定相应的隐函数x=x(y,z)和y=y(x,z). 故应选(D).

【评注】隐函数存在定理是首次直接考查，有部分考生感到较生疏. 实际上本题也可从隐函数求偏导公式着手分析：若偏导表达式有意义，相应偏导数也就存在.

定理公式见《数学复习指南》（理工类）P.270

（11）设 1, 2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为 1, 2，则 1，

A( 1 2)线性无关的充分必要条件是

(A)

1 0. (B) 2 0. (C) 1 0. (D) 2 0. [ B ]

【分析】 讨论一组抽象向量的线性无关性，可用定义或转化为求其秩即可. 【详解】 方法一：令 k1 1 k2A( 1 2) 0，则

k1 1 k2 1 1 k2 2 2 0， (k1 k2 1) 1 k2 2 2 0. 由于 1, 2线性无关，于是有

k1 k2 1 0,

k2 2 0.