信号与系统期末考试题库及答案(9)

解：x”(t) + 4x’(t)+3x(t) = f(t)

y(t) = 4x’(t) + x(t)

则：y”(t) + 4y’(t)+ 3y(t) = 4f’(t) + f(t)

根据h(t)的定义有

h”(t) + 4h’(t) + 3h(t) = δ(t)

h’(0-) = h(0-) = 0

先求h’(0+)和h(0+)。

因方程右端有δ(t)，故利用系数平衡法。h”(t)中含δ(t)，h’(t)含ε(t)，h’(0+)≠h’(0-)，h(t)在t=0连续，即h(0+)=h(0-)。积分得

[h’(0+) - h’(0-)] + 4[h(0+) - h(0-)] +3 = 1

考虑h(0+)= h(0-)，由上式可得

h(0+)=h(0-)=0

h’(0+) =1 + h’(0-) = 1

对t>0时，有 h”(t) + 4h’(t) + 3h(t) = 0

故系统的冲激响应为一齐次解。

微分方程的特征根为-1，-3。故系统的冲激响应为

h(t)=(C1e-t + C2e-3t)ε(t)

代入初始条件求得C1=0.5,C2=-0.5, 所以

h(t)=(0.5 e-t– 0.5e-3t)ε(t)

三、描述某系统的微分方程为 y”(t) + 4y’(t) + 3y(t) = f(t)

求当f(t) = 2e-2t，t≥0；y(0)=2，y’(0)= -1时的解；（ 15分）

解: (1) 特征方程为λ2 + 4λ+ 3 = 0 其特征根λ1= –1，λ2= –2。齐次解为 y h(t) = C1e -t + C2e -3t

当f(t) = 2e–2 t时，其特解可设为

y p(t) = Pe -2t

将其代入微分方程得

P*4*e -2t + 4(–2 Pe-2t) + 3Pe-t = 2e-2t

解得 P=2

于是特解为 y p(t) =2e-t

全解为： y(t) = y h(t) + y p(t) = C1e-t + C2e-3t + 2e-2t

其中待定常数C1,C2由初始条件确定。

y(0) = C1+C2+ 2 = 2，

y’(0) = –2C1–3C2–1= –1

解得 C1 = 1.5 ，C2 = –1.5

最后得全解 y(t) = 1.5e– t – 1.5e – 3t +2 e –2 t , t≥0

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