高中数学典型例题解析：第三章 基本初等函数Ⅱ(2)

三角函数

7．三角函数值的符号：各三角函数值在第个象限的符号如图所示（各象限注明的函数为正，其余为负值）

可以简记为“一全、二正、三切、四余”为正.二、疑难知识导析

1．在直角坐标系内讨论角

（1）角的顶点在原点，始边在x轴的正半轴上，角的终边在第几象限，就称这个角是第几象限角（或说这个角属于第几象限）.它的前提是“角的顶点为原点，角的始边为x轴的非负半轴.否则不能如此判断某角为第几象限.若角的终边落在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限.（2）与 角终边相同的角的集合表示.

k 360

,k Z，其中 为任意角.终边相同的角不一定相等，相等的角终边一

定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360整数倍.2．值得注意的几种范围角的表示法

“0～90间的角”指0 90；“第一象限角”可表示为

k 360

k 360 90 ,k Z；“小于90的角”可表示为 90.

3．在弧度的定义中

l

与所取圆的半径无关，仅与角的大小有关.r

4．确定三角函数的定义域时，主要应抓住分母为零时比值无意义这一关键.当终边在坐标轴上时点P坐标中必有一个为0.5．根据三角函数的定义可知：（1）一个角的三角函数值只与这个角的终边位置有关，即角 与

k 360 (k Z)的同名三角函数值相等；（2）x r,y r，故有

co s 1,si n 1，这是三角函数中最基本的一组不等关系.

6．在计算或化简三角函数关系式时，常常需要对角的范围以及相应三角函数值的正负情况进行讨论.因此，在解答此类问题时要注意：（1）角的范围是什么？（2）对应角的三角函数值是正还是负？（3）与此相关的定义、性质或公式有哪些？三、经典例题导讲

[例1] 若A、B、C是 ABC的三个内角，且A B C(C 是（ ）

)，则下列结论中正确的个数2

①.sinA sinC ②.cotA cotC ③.tanA tanC ④.cosA cosCA．1 B.2 C.3 D.4

错解： A C ∴ sinA sinC，tanA tanC故选B

错因：三角形中大角对大边定理不熟悉，对函数单调性理解不到位导致应用错误

正解：法1 A C在 ABC中，在大角对大边， c a, sinC sinA

三角函数

法2 考虑特殊情形，A为锐角，C为钝角，故排除B、C、D，所以选A .

[例2]已知 , 角的终边关于y轴对称，则 与 的关系为 .错解：∵ , 角的终边关于y轴对称，∴

2

2

+2k ，（k z)

错因：把关于y轴对称片认为关于y轴的正半轴对称.正解：∵ , 角的终边关于y轴对称∴

2

2

k ,(k Z)即 2k ,(k z)

说明：（1）若 , 角的终边关于x轴对称，则 与 的关系为 2k ,(k Z)

（2）若 , 角的终边关于原点轴对称，则

与 的关系为

(2k 1) ,(k Z)

（3）若 , 角的终边在同一条直线上，则 与 的关系为 k ,(k Z)

3 4

,cos ，试确定 的象限.2525 3 4

错解：∵sin 0,cos 0，∴是第二象限角，即

25252

[例3] 已知sin

2k

2

2k ,k z.

从而4k 4k 2 ,k z.

故 是第三象限角或第四象限角或是终边在y轴负半轴上的角.错因：导出

3 4

是第二象限角是正确的，由sin 0,cos 0即可确定，22525 3 4

而题中sin ,cos 不仅给出了符号，而且给出了具体的函数值，通过其值可进

2525

一步确定的大小，即可进一步缩小所在区间.

22 3 4

正解：∵sin 0,cos 0，∴是第二象限角，

25252

又由sin

2

3 323

2k ,k z知2k sin

42524

4k

3

4k 2 ,k z，故 是第四象限角.2

[例4]已知角 的终边经过P( 4a,3a)(a 0)，求sin ,cos ,tan ,cot 的值.