2008初中数学竞赛辅导解题方法与技巧系列资料(6)

2008初中数学竞赛辅导解题方法与技巧系列资料

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a1x b1y c1

1． 二元一次方程组 的解的情况有以下三种：

ax by c22 2

abc

① 当1 1 1时，方程组有无数多解。（∵两个方程等效）

a2b2c2abc

② 当1 1 1时，方程组无解。（∵两个方程是矛盾的）

a2b2c2ab

③ 当1 1（即a1b2－a2b1≠0）时，方程组有唯一的解：

a2b2

c1b2 c2b1 x a1b2 a2b1 （这个解可用加减消元法求得）

ca ca y 2112

a1b2 a2b1

2． 方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可按二元一次方程整数解的求法进行。

3． 求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定系数当己知数），再解含待定系数的不

等式或加以讨论。（见例2、3） 乙例题

5x y 7

例1. 选择一组a,c值使方程组

ax 2y c

① 有无数多解， ②无解， ③有唯一的解

解： ①当 5∶a=1∶2=7∶c时，方程组有无数多解

解比例得a=10, c=14。

② 当 5∶a＝1∶2≠7∶c时，方程组无解。

解得a=10, c≠14。

③当 5∶a≠1∶2时，方程组有唯一的解，

即当a≠10时，c不论取什么值，原方程组都有唯一的解。 例2. a取什么值时，方程组

x y a

的解是正数？

5x 3y 31

解：把a作为已知数，解这个方程组

31 3a 31 3a

x 0 x 0 22得 ∵ ∴

5a 315a 31 y 0 y 0 2 2

31 a 11 3

解不等式组得 解集是6 a 10

53 a 31

5

11

答：当a的取值为6 a 10时，原方程组的解是正数。

53

2x my 4

例3. m取何整数值时，方程组 的解x和y都是整数？

x 4y 1