2008初中数学竞赛辅导解题方法与技巧系列资料(10)

时间：2025-07-12

2008初中数学竞赛辅导解题方法与技巧系列资料

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7．a是正整数，试比较aa+1和(a+1)a的大小. 8．. 如图把长方形的四条边涂上红色，然后把宽3等分，把长8等分，分成24个

小长方形，那么这24个长方形中，

两边涂色的有＿＿个，一边涂色的有＿＿个，四边都不着色的有＿＿个。

本题如果改为把宽m等分,长n等分(m,n都是大于1的自然数)那么这mn个长方形中，两边涂色的有＿＿个，一边涂色的有＿＿个，四边都不着色的有＿＿个

9．把表面涂有红色的正方体的各棱都4等分，切成64个小正方体，那么这64个中，三面涂色的有＿＿个，两面涂色的有＿＿＿个，一面涂色的有＿＿＿个，四面都不涂色的有＿＿＿＿个。本题如果改为把长m等分,宽n等分,高p等分，（m,n,p都是大于2的自然数）那么这mnp个正方体中，三面涂色的有＿＿＿个，两面涂色的有＿＿＿个，一面涂色的有＿＿＿＿个，四面都不涂色的有＿＿＿＿＿个。

10．一个西瓜按横，纵，垂直三个方向各切三刀，共分成＿＿＿块，其中不带皮的有＿＿块。 11．已知两个正整数的积等于11112222，它们分别是＿＿＿，＿＿＿。

练习 14

1. 3，30，3×102，3×10n-1

2. 10n-1a1+10n-2a2_＋ +10an-1+an

222

4. ①333332, 333 ②， 33 3433 34

n个

9位

n位

5.①192位，②901位（50个18，加上1） 6. ∵

7. a=1,2时，aa+1<(a+1)a ……

10. 4,14,6； 4, 2m+2n-8, (m-2)(n-2) 11. 8,24,24,8；

8，4×［（m－2）＋（n-2）+(p-2)］,2［（m-2）(n-2)+(m-2)］(p-2)+(n-2)(p-2)］, (m-2)(n-2)(p-2) 10. 64,8 11. 3334

1119

＝－

11 121112220

初中数学竞赛辅导资料——用交集解题

2008初中数学竞赛辅导解题方法与技巧系列资料

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甲内容提要

1．某种对象的全体组成一个集合。组成集合的各个对象叫这个集合的元素。例如6的正约数集合记作｛6

的正约数｝＝｛1，2，3，6｝，它有4个元素1，2，3，6；除以3余1的正整数集合是个无限集，记作｛除以3余1的正整数｝＝｛1，4，7，10 ｝，它的个元素有无数多个。 2．由两个集合的所有公共元素组成的一个集合，叫做这两个集合的交集

例如6的正约数集合A＝｛1，2，3，6｝，10的正约数集合B＝｛1，2，5，10｝，6与10的公约数集合C＝｛1，2｝，集合C是集合A和集合B的交集。 3．几个集合的交集可用图形形象地表示，

右图中左边的椭圆表示正数集合，

右边的椭圆表示整数集合，中间两个椭圆的公共部分，是它们的交集――正整数集。 2x 6 (1)

例如不等式组解的集合就是

x 2 (2)

不等式（1）的解集x>3和不等式（2）的解集x＞2的交集，x>3.

4．一类问题，一般可用交集来解答。把符合每个条件的所有的解（即解的集合）分别求出来，它们的公共部分（即交集）就是所求的答案。

有时可以先求出其中的一个（一般是元素最多）的解集，再按其他条件逐一筛选、剔除，求得答案。（如例2）乙例题

例1.一个自然数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个自然数的最小值。解：除以3余2的自然数集合A＝｛2，5，8，11，14，17，20，23，26，｝除以5余3的自然数集B＝｛3，8，13，18，23，28，｝除以7余2自然数集合C＝｛2，9，16，23，30，｝集合A、B、C的公共元素的最小值23就是所求的自然数。

例2. 有两个二位的质数，它们的差等于6，并且平方数的个位数字相同，求这两个数。

解：二位的质数共21个，它们的个位数字只有1，3，7，9，即符合条件的质数它们的个位数的集合是｛1，

3，7，9｝；

其中差等于6的有：1和7；3和9；13和7，三组；平方数的个位数字相同的只有3和7；1和9二组。

同时符合三个条件的个位数字是3和7这一组

故所求质数是：23，17； 43，37； 53，47； 73，67共四组。

例3. 数学兴趣小组中订阅A种刊物的有28人，订阅B种刊物的有21人，其中6人两种都订，只有一人

两种都没有订，问只订A种、只订B种的各几人？数学兴趣小组共有几人？

解：如图左、右两椭圆分别表示订阅A种、B种刊物的人数集合，则两圆重叠部分就是它们的交集（A、B两种都订的人数集合）。

∴只订A种刊物的人数是28－6＝22人；

只订B刊物的人数是21－6＝15人；小组总人数是22＋15＋6＋1＝44人。设N，N（A），N（B），N（AB），N 分别表示总人数，订A种、B种、AB［公式一］N＝N+ N（A）+N（B）－N（AB）。

例4. 在40名同学中调查，会玩乒乓球的有24人，篮球有18人，排球有10人，同时会玩乒乓球和篮球的