2008初中数学竞赛辅导解题方法与技巧系列资料(9)

2008初中数学竞赛辅导解题方法与技巧系列资料

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第5条直线和前4条直线都相交，增加了4个交点，得1＋2＋3＋4

第n条直线和前n－1条直线都相交，增加了n－1个交点

由此断定n 条直线两两相交，最多有交点1＋2＋3＋ n－1（个）， 这里n≥2，其和可表示为［1+（n+1）］×

n 1n(n 1)

, 即个交点。 22

例2．符号n！表示正整数从1到n的連乘积，读作n的阶乘。例如 5！＝1×2×3×4×5。试比较3n与（n+1）！的大小（n 是正整数）

n

解：当n ＝1时，3＝3, （n＋1）！＝1×2＝2

n

当n ＝2时，3＝9， （n＋1）！＝1×2×3＝6

n

当n ＝3时，3＝27, （n＋1）！＝1×2×3×4＝24

n

当n ＝4时，3＝81, （n＋1）！＝1×2×3×4×5＝120

n

当n ＝5时，3＝243, （n＋1）！＝6！＝720 猜想其结论是：当n＝1，2，3时，3n＞（n＋1）！，当n>3时3n＜（n＋1）！。 例3 求适合等式x1+x2+x3＋ +x2003=x1x2x3 x2003的正整数解。

分析：这2003个正整数的和正好与它们的积相等，要确定每一个正整数的值，我们采用经验归纳法从2个，3个，4个 直到发现规律为止。 解：x1+x2=x1x2的正整数解是x1=x2=2

x1+x2+x3=x1x2x3的正整数解是x1=1,x2=2,x3=3

x1+x2+x3+x4=x1x2x3x4的正整数解是x1=x2=1,x3=2,x4=4

x1+x2+x3+x4+x5=x1x2x3x4x5的正整数解是x1=x2=x3=1,x4=2,x5=5

x1+x2+x3+x4+x5+x6=x1x2x3x4x5x6的正整数解是x1=x2=x3=x4=1,x5=2,x6=6

由此猜想结论是：适合等式x1+x2+x3＋ +x2003=x1x2x3 x2003的正整数解为x1=x2=x3＝ =x2001=1, x 2002=2， x2003=2003。 丙练习14

1． 除以3余1的正整数中，一位数有＿＿个，二位数有＿＿个，三位数有＿＿个，n位数有＿＿＿＿个。 2． 十进制的两位数a1a2可记作10a1＋a2,三位数a1a2a3记作100a1+10a2+a3,四位数＿＿，n位数＿＿＿记作

3． 由13＋23＝（1＋2）2，13＋23＋33＝（1＋2＋3）2，13＋23＋33＋43

＝（＿＿＿）2 ,13＋＿＿＿＿＿＿＝152，13＋23＋ ＋n3=( )2。 4． 用经验归纳法猜想下列各数的结论（是什么正整数的平方） ①111；111 1－222 2＝（＿＿＿）2； 1－222 2＝（ ＿＿）2。

10个1

5个2

2n个1

n个2

a1a2a3a4记作＿＿

②111 155 56＝（＿＿＿＿）2；11 1155 56＝（＿＿＿）2

9位

9位

n位

n位

5． 把自然数1到100一个个地排下去：123 91011 99100

① 这是一个几位数？②这个数的各位上的各个数字和是多少 6．计算

1111

＋＋＋ ＋＝

11 1212 1313 1419 20

（提示把每个分数写成两个分数的差）