2008初中数学竞赛辅导解题方法与技巧系列资料(15)

2008初中数学竞赛辅导解题方法与技巧系列资料

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当n=3k+1时， M＝3（3k+1）［(3k+1)2+2］＝3（3k+1）(9k2+6k+3)

=9(3k+1)(3k2+2k+1)

当n=3k+2时， M＝3（3k+2）［(3k+2)2+2］＝3（3k+2）(9k2+12k+6) ＝9(3k+2)(3k2+4k+2) ∴对任意整数n，M都是9的倍数。 例4. 求证：方程x2－3y2=17没有整数解 证明：设整数x按模3分类讨论，

①当x＝3k时， （3k）2－3y2=17, 3(3k2－y2)=17 ⑵当x=3k±1时， （3k±1）2－3y2=17 3(3k2±2k－y2)=16 由①②左边的整数是3的倍数，而右边的17和16都不是3的倍数， ∴上述等式都不能成立，因此，方程x2－3y2=17没有整数解 例5. 求证：不论n取什么整数值，n2+n+1都不能被5整除 证明：把n按模5分类讨论，

当n=5k时，n2+n+1=(5k)2+5k+1=5(5k2+k)+1

当n=5k±1 时，n2+n+1＝（5k±1）2＋5k±1＋1

＝25k2±10k+1+5k±1＋1＝5（5k2±2k＋k）＋2±1 当n=5k±2时，n2+n+1＝（5k±2）2＋5k±2＋1

＝25k2±20k+4+5k±2＋1＝5（5k2±4k+k+1）±2 综上所述，不论n取什么整数值，n2+n+1都不能被5整除 又证：n2+n+1＝n(n+1)+1

∵n(n+1)是两个连续整数的积，其个位数只能是0，2，6 ∴n2+n+1的个位数只能是1，3，7，故都不能被5整除。

丙练习16

1. 已知a=3k+1, b=3k+2, c=3k (a,b,c,k都是整数)

填写表中各数除以3的余数。

2. 376÷7的余数是＿＿＿＿＿

3．今天是星期日，第2天是星期一，那么第2111天是星期几？ 4．已知m,n都是正整数，求证：3

nm(n2+2)

（a2－1）

5. 已知a是奇数但不是3的倍数，求证：24

（提示a可表示为除以6余1或5，即a=6k±1） 6． 把正整数按表中的规律排下去，问100

将排在哪一列？答：＿＿＿

7． 已知正整数n不是4的倍数

求证：1n＋2n＋3n＋4n是10的倍数

8. 任给5个整数，必能从中找到3个，

其和能被10整除，这是为什么？ 9对任意两个整数，它们的和、差、积中 至少有一个是3的倍数，试说明理由。

10．任意10个整数中，必有两个,它们的差是9的倍数。这是为什么？如果改为任意n＋1个，则必有两个,它们的差是n的倍数，试说明理由。

11.证明 x2+y2-8z=6没有整数解 （1990年德化县初中数学竞赛题） 12.从1开始的正整数依次写下去，直到第198位为止 即1234

198位

那么这个数用9除之，余数是＿＿＿（1987年全国初中数学联赛题）