2008初中数学竞赛辅导解题方法与技巧系列资料(15)

时间:2025-07-12

2008初中数学竞赛辅导解题方法与技巧系列资料

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当n=3k+1时, M=3(3k+1)[(3k+1)2+2]=3(3k+1)(9k2+6k+3)

=9(3k+1)(3k2+2k+1)

当n=3k+2时, M=3(3k+2)[(3k+2)2+2]=3(3k+2)(9k2+12k+6) =9(3k+2)(3k2+4k+2) ∴对任意整数n,M都是9的倍数。 例4. 求证:方程x2-3y2=17没有整数解 证明:设整数x按模3分类讨论,

①当x=3k时, (3k)2-3y2=17, 3(3k2-y2)=17 ⑵当x=3k±1时, (3k±1)2-3y2=17 3(3k2±2k-y2)=16 由①②左边的整数是3的倍数,而右边的17和16都不是3的倍数, ∴上述等式都不能成立,因此,方程x2-3y2=17没有整数解 例5. 求证:不论n取什么整数值,n2+n+1都不能被5整除 证明:把n按模5分类讨论,

当n=5k时,n2+n+1=(5k)2+5k+1=5(5k2+k)+1

当n=5k±1 时,n2+n+1=(5k±1)2+5k±1+1

=25k2±10k+1+5k±1+1=5(5k2±2k+k)+2±1 当n=5k±2时,n2+n+1=(5k±2)2+5k±2+1

=25k2±20k+4+5k±2+1=5(5k2±4k+k+1)±2 综上所述,不论n取什么整数值,n2+n+1都不能被5整除 又证:n2+n+1=n(n+1)+1

∵n(n+1)是两个连续整数的积,其个位数只能是0,2,6 ∴n2+n+1的个位数只能是1,3,7,故都不能被5整除。

丙练习16

1. 已知a=3k+1, b=3k+2, c=3k (a,b,c,k都是整数)

填写表中各数除以3的余数。

2. 376÷7的余数是_____

3.今天是星期日,第2天是星期一,那么第2111天是星期几? 4.已知m,n都是正整数,求证:3

nm(n2+2)

(a2-1)

5. 已知a是奇数但不是3的倍数,求证:24

(提示a可表示为除以6余1或5,即a=6k±1) 6. 把正整数按表中的规律排下去,问100

将排在哪一列?答:___

7. 已知正整数n不是4的倍数

求证:1n+2n+3n+4n是10的倍数

8. 任给5个整数,必能从中找到3个,

其和能被10整除,这是为什么? 9对任意两个整数,它们的和、差、积中 至少有一个是3的倍数,试说明理由。

10.任意10个整数中,必有两个,它们的差是9的倍数。这是为什么?如果改为任意n+1个,则必有两个,它们的差是n的倍数,试说明理由。

11.证明 x2+y2-8z=6没有整数解 (1990年德化县初中数学竞赛题) 12.从1开始的正整数依次写下去,直到第198位为止 即1234

198位

那么这个数用9除之,余数是___(1987年全国初中数学联赛题)

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