2008初中数学竞赛辅导解题方法与技巧系列资料(14)
时间:2025-07-12
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2008初中数学竞赛辅导解题方法与技巧系列资料
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初中数学竞赛辅导资料——整数的一种分类
甲内容提要
1. 余数的定义:在等式A=mB+r中,如果A、B是整数,m是正整数, r为小于m的非负整数,那么我们称r是A 除以m的余数。
即:在整数集合中 被除数=除数×商+余数 (0≤余数<除数) 例如:13,0,-1,-9除以5的余数分别是3,0,4,1 (∵-1=5(-1)+4。 -9=5(-2)+1。) 2. 显然,整数除以正整数m ,它的余数只有m种。
例如 整数除以2,余数只有0和1两种,除以3则余数有0、1、2三种。
3. 整数的一种分类:按整数除以正整数m的余数,分为m类,称为按模m分类。例如:
m=2时,分为偶数、奇数两类,记作{2k},{2k-1} (k为整数) m=3时,分为三类,记作{3k},{3k+1},{3k+2}. 或{3k},{3k+1},{3k-1}其中{3k-1}表示除以3余2。 m=5时,分为五类,{5k}.{5k+1},{5k+2},{5k+3},{5k+4} 或{5k},{5k±1},{5k±2}, 其中5k-2表示除以5余3。
4. 余数的性质:整数按某个模m分类,它的余数有可加,可乘,可乘方的运算规律。
举例如下:
①(3k1+1)+(3k2+1)=3(k1+k2)+2 (余数1+1=2) ②(4k1+1)(4k2+3)=4(4k1k2+3k1+k2)+3 (余数1×3=3) ③(5k±2)2=25k2±20k+4=5(5k2±4k)+4 (余数22=4) 以上等式可叙述为:
① 两个整数除以3都余1,则它们的和除以3必余2。
② 两个整数除以4,分别余1和3,则它们的积除以4必余3。
③ 如果整数除以5,余数是2或3,那么它的平方数除以5,余数必是
4或9。
余数的乘方,包括一切正整数次幂。
如:∵17除以5余2 ∴176除以5的余数是4 (26=64) 5. 运用整数分类解题时,它的关鍵是正确选用模m。
乙例题
例1. 今天是星期日,99天后是星期几?
分析:一星期是7天,选用模m=7, 求99除以7的余数 解:99=(7+2)9,它的余数与29的余数相同,
29=(23)3=83=(7+1)3它的余数与13相同, ∴99天后是星期一。
又解:设{A}表示A除以7的余数, {99}={(7+2)9}={29}={83}={(7+1)3}={13}=1 例2. 设n为正整数,求43 n+1 除以9的余数。 分析:设法把幂的底数化为9k+r形式
解:43 n+1=4×43n=4×(43)n=4×(64)n=4×(9×7+1)n
∵(9×7+1)n除以9的余数是1n=1 ∴43 n+1 除以9的余数是4。
例3. 求证三个连续整数的立方和是9的倍数 解:设三个连续整数为n-1,n,n+1
M=(n-1)3+n3+(n+1)3=3n(n2+2) 把整数n按模3,分为三类讨论。
当n=3k (k为整数,下同)时,M=3×3k[(3k)2+2]=9k(9k2+2)
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