2008初中数学竞赛辅导解题方法与技巧系列资料(14)

2008初中数学竞赛辅导解题方法与技巧系列资料

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初中数学竞赛辅导资料——整数的一种分类

甲内容提要

1． 余数的定义：在等式A＝mB＋r中，如果A、B是整数，m是正整数， r为小于m的非负整数，那么我们称r是A 除以m的余数。

即：在整数集合中 被除数＝除数×商＋余数 (0≤余数<除数) 例如：13，0，－1，－9除以5的余数分别是3，0，4，1 （∵－1＝5（－1）＋4。 －9＝5（－2）＋1。） 2． 显然，整数除以正整数m ,它的余数只有m种。

例如 整数除以2，余数只有0和1两种，除以3则余数有0、1、2三种。

3． 整数的一种分类：按整数除以正整数m的余数，分为m类，称为按模m分类。例如：

m=2时，分为偶数、奇数两类，记作｛2k｝,｛2k－1｝ （k为整数） m=3时，分为三类，记作｛3k｝,｛3k+1｝,｛3k+2｝. 或｛3k｝,｛3k+1｝，｛3k－1｝其中｛3k－1｝表示除以3余2。 m=5时，分为五类，｛5k｝.｛5k+1｝,｛5k+2｝,｛5k+3｝,｛5k+4｝ 或｛5k｝,｛5k±1｝,｛5k±2｝， 其中5k－2表示除以5余3。

4． 余数的性质：整数按某个模m分类，它的余数有可加，可乘，可乘方的运算规律。

举例如下：

①（3k1+1）+(3k2+1)=3(k1+k2)+2 （余数1＋1＝2） ②（4k1+1）(4k2+3)=4(4k1k2+3k1+k2)+3 （余数1×3＝3） ③（5k±2）2＝25k2±20k+4=5(5k2±4k)+4 （余数22＝4） 以上等式可叙述为：

① 两个整数除以3都余1，则它们的和除以3必余2。

② 两个整数除以4，分别余1和3，则它们的积除以4必余3。

③ 如果整数除以5，余数是2或3，那么它的平方数除以5，余数必是

4或9。

余数的乘方，包括一切正整数次幂。

如：∵17除以5余2 ∴176除以5的余数是4 （26＝64） 5． 运用整数分类解题时，它的关鍵是正确选用模m。

乙例题

例1. 今天是星期日，99天后是星期几？

分析：一星期是7天，选用模m=7, 求99除以7的余数 解：99＝（7＋2）9，它的余数与29的余数相同，

29＝（23）3＝83＝（7＋1）3它的余数与13相同， ∴99天后是星期一。

又解：设｛A｝表示A除以7的余数， ｛99｝＝｛（7＋2）9｝＝｛29｝＝｛83｝＝｛（7＋1）3｝＝｛13｝＝1 例2. 设n为正整数，求43 n+1 除以9的余数。 分析：设法把幂的底数化为9k＋r形式

解：43 n+1＝4×43n=4×(43)n=4×（64）n＝4×(9×7＋1)n

∵(9×7＋1)n除以9的余数是1n=1 ∴43 n+1 除以9的余数是4。

例3. 求证三个连续整数的立方和是9的倍数 解：设三个连续整数为n－1,n,n+1

M=(n－1)3+n3+(n+1)3=3n(n2+2) 把整数n按模3，分为三类讨论。

当n=3k （k为整数，下同）时，M＝3×3k［(3k)2+2］=9k(9k2+2)