高中数学高考同步试卷

（2）分别以直线CA ，CB ，CF 为x 轴，y 轴，z 轴的如图所示的空间直角坐标系，求出平面MAB 的一个法向量，平面FCB 的一个法向量，利用空间向量的数量积求解即可．

【详解】

（1）证明：在梯形ABCD 中，因为AB ∥CD ，AD ＝DC ＝CB ＝1，∠ABC ＝60°

所以AB ＝2，所以AC 2＝AB 2+BC 2﹣2AB •BC •cos60°＝3，

所以AB 2＝AC 2+BC 2，所以BC ⊥AC ．

因为平面ACFE ⊥平面ABCD ，平面ACFE ∩平面ABCD ＝AC ，

因为BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥平面ACFE ．

（2）解：由（1）可建立分别以直线CA ，CB ，CF 为x 轴，y 轴，z 轴的如图所示的空间直角坐标系，

令(0FM λλ=≤≤，则C （0，0，0）

，)

0A ，，B （0，1，0），M （λ，0，1）．

∴()0AB =-，，()11BM λ=-，，．

设n =（x ，y ，z ）为平面MAB 的一个法向量， 由00n AB n BM ⎧⋅=⎨⋅=⎩

得00y x y z λ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，取x ＝1，则n =(1

λ)， ∵m =(1，0，0)是平面FCB 的一个法向量

∴cosθ

13n

m n m ⋅==

=+

∵0λ≤≤λ＝0时，cosθ，当λ=cosθ有最大值12． ∴12cos θ⎤∈⎥⎣⎦，．