物理学答案(第五版,上册)马文蔚(20)

物理学答案(第五版,上册)马文蔚,第4章

12GmmE12GmmE (2) mv1 mv2 2r12r2

式中G 为引力常量，mＥ 和m 分别为地球和卫星的质量，r1 和r2 是卫星在近地点和远地点时离地球中心的距离.由式(1)、(2)可解得卫星在近地点和远地点的速率分别为 v1 GmEr2 8.11 103m s 1 r1r1 r2r1v1 6.31 103m s 1 r2v2

4 －29 地球对自转轴的转动惯量为0.33 mＥR2 ，其中mＥ为地球的质量，R为地球的半径.(1) 求地球自转时的动能；(2) 由于潮汐的作用，地球自转的速度逐渐减小，一年内自转周期增加3.5 ×105 s，求潮汐对地球的平均力矩. －

分析 由于地球自转一周的时间为24 小时，由ω＝2π/T 可确定地球的自转角速度和地球自转时的转动动能Eｋ ＝12 Jω2 .随着自转周期的增加，相应自转的角速度将减小，因而转动动能也将减少.通过对上述两式微分的方法，可得到动能的减少量ΔEｋ 与周期的变化ΔT 的关系.根据动能定理可知，地球转动动能的减少是潮汐力矩作功的结果，因此，由W θ ΔEK，即可求出潮汐的平均力矩.

解 (1) 地球的质量mＥ ＝5.98 ×1024 kg，半径R ＝6.37 ×106 m，所以，地球自转的动能

EK

(2) 对式ω 12Jω 2π2 0.33mER2/T2 2.12 1029J 22π两边微分，可得 Tdω

当周期变化一定量时，有 2πdT T22πω2

Δω 2ΔT ΔT (1) T2π

由于地球自转减慢而引起动能的减少量为

ω3ωΔEK JωΔω JΔT EKΔT (2) 2ππ

又根据动能定理

W θ ΔEK (3)

由式(2)、(3)可得潮汐的摩擦力矩为

EKωΔT 2 7.47 10N m 22πn

式中n 为一年中的天数(n ＝365)，ΔT 为一天中周期的增加量.