九年级数学圆知识精讲

过O作OE⊥CD于E，交AB于F 以下证法同（1），略。 EF 7

梯形ABCD的面积为4 7 或4

S梯形ABCD

1

2 6 7 4 4 47 2

例3. 如图，已知AB为⊙O的直径，P是OB的中点，求tanC·tanD的值。

分析：为了求tanC·tanD的值，需要分别构造出含有∠C和∠D的两个直角三角形。而AB是直径，为我们寻找直角创造了条件。连BC、BD，则得到Rt△ACB和Rt△ADB。可以发现∠ACD＝∠ABD，∠ADC＝∠ABC，于是，可以把tanC·tanD转化为

tan∠ABD·tan∠ABC

ADACAD·AC

· ，则可求。 BDBCBD·BC

解：连结BC、BD

∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90° ∵∠ACD＝∠ABD，∠ADC＝∠ABC

tanC·tanD tan∠ABD·tan∠ABC 作AE⊥CD于E，作BF⊥CD于F 则△AEC∽△ADB

ADACAD·AC

·

BDBCBD·BC

ACAB

AEAD

∴AC·AD＝AE·AB 同理，BD·BC＝BF·AB

九年级数学圆知识精讲

tanC·tanD ∵△APE∽△BPF ∴

AE·ABAE

BF·ABBF

AEAP

BFBP

AP3AE

，∴ 3 BP1BF

∵P为半径OB的中点 ∴

∴tanC·tanD＝3

例4. 如图，△ABC是等边三角形，D是BC上任一点，求证：DB DC

DA

⌒

分析：由已知条件，等边△ABC可得60°角，根据圆的性质，可得∠ADB＝60°，利用截长补短的方法可得一个新的等边三角形，再证两个三角形全等，从而转移线段DC。 证明：延长DB至点E，使BE＝DC，连结AE ∵△ABC是等边三角形

∴∠ACB＝∠ABC＝60°，AB＝AC ∴∠ADB＝∠ACB＝60°

∵四边形ABDC是圆内接四边形 ∴∠ABE＝∠ACD

在△AEB和△ADC中，

BE CD

∠ABE ∠ACD

AB AC

AEB ADC ∴AE＝AD

∵∠ADB＝60°

∴△AED是等边三角形 ∴AD＝DE＝DB＋BE ∵BE＝DC ∴DB＋DC＝DA

说明：本例也可以用其他方法证明。如：

（1）延长DC至F，使CF＝BD，连结AF，再证△ACF≌△ABD，得出AD＝DF，从而DB＋CD＝DA。