九年级数学圆知识精讲(4)

时间:2025-04-02

九年级数学圆知识精讲

过O作OE⊥CD于E,交AB于F 以下证法同(1),略。 EF 7

梯形ABCD的面积为4 7 或4

S梯形ABCD

1

2 6 7 4 4 47 2

例3. 如图,已知AB为⊙O的直径,P是OB的中点,求tanC·tanD的值。

分析:为了求tanC·tanD的值,需要分别构造出含有∠C和∠D的两个直角三角形。而AB是直径,为我们寻找直角创造了条件。连BC、BD,则得到Rt△ACB和Rt△ADB。可以发现∠ACD=∠ABD,∠ADC=∠ABC,于是,可以把tanC·tanD转化为

tan∠ABD·tan∠ABC

ADACAD·AC

· ,则可求。 BDBCBD·BC

解:连结BC、BD

∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=∠ADB=90° ∵∠ACD=∠ABD,∠ADC=∠ABC

tanC·tanD tan∠ABD·tan∠ABC 作AE⊥CD于E,作BF⊥CD于F 则△AEC∽△ADB

ADACAD·AC

·

BDBCBD·BC

ACAB

AEAD

∴AC·AD=AE·AB 同理,BD·BC=BF·AB

九年级数学圆知识精讲

tanC·tanD ∵△APE∽△BPF ∴

AE·ABAE

BF·ABBF

AEAP

BFBP

AP3AE

,∴ 3 BP1BF

∵P为半径OB的中点 ∴

∴tanC·tanD=3

例4. 如图,△ABC是等边三角形,D是BC上任一点,求证:DB DC

DA

分析:由已知条件,等边△ABC可得60°角,根据圆的性质,可得∠ADB=60°,利用截长补短的方法可得一个新的等边三角形,再证两个三角形全等,从而转移线段DC。 证明:延长DB至点E,使BE=DC,连结AE ∵△ABC是等边三角形

∴∠ACB=∠ABC=60°,AB=AC ∴∠ADB=∠ACB=60°

∵四边形ABDC是圆内接四边形 ∴∠ABE=∠ACD

在△AEB和△ADC中,

BE CD

∠ABE ∠ACD

AB AC

AEB ADC ∴AE=AD

∵∠ADB=60°

∴△AED是等边三角形 ∴AD=DE=DB+BE ∵BE=DC ∴DB+DC=DA

说明:本例也可以用其他方法证明。如:

(1)延长DC至F,使CF=BD,连结AF,再证△ACF≌△ABD,得出AD=DF,从而DB+CD=DA。

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