（Ⅲ）∠PMQ能否为直角？证明你的结论．

考点： 直线与圆锥曲线的综合问题．

专题： 综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： （Ⅰ）根据椭圆C：

+

=1（a＞b＞0）经过点M（﹣2，﹣1），离心率为

，建

立方程可求a，b的值，从而可得椭圆的方程；

（Ⅱ）设直线的倾斜角为α，β，则α+β=180°，α=β+∠PMQ，若∠PMQ=90°，则β=45°，α=135°，求出直线的方程与椭圆方程联立，验证即可得到结论；

（III）设直线MP的斜率为k，则直线MQ的斜率为﹣k，假设∠PMQ为直角，则k （﹣k）=﹣1，k=±1，再验证即可求得结论． 解答： （Ⅰ）解：由题设，得

2

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=1，①且=，②

由①、②解得a=6，b=3，[:Z。xx。] 椭圆C的方程为

． …3分

（Ⅱ）证明：记P（x1，y1）、Q（x2，y2）．由题意知，直线MP、MQ的斜率存在． 设直线MP的方程为y+1=k（x+2），与椭圆C的方程联立，得 （1+2k）x+（8k﹣4k）x+8k﹣8k﹣4=0， ﹣2，x1是该方程的两根，则﹣2x1=设直线MQ的方程为y+1=﹣k（x+2）， 同理得x2=

．…6分

，x1=

．

2

2

2

2

因y1+1=k（x1+2），y2+1=﹣k（x2+2）， 故kPQ=

=

=1，

因此直线PQ的斜率为定值． …9分

（Ⅲ）解：设直线MP的斜率为k，则直线MQ的斜率为﹣k， 假设∠PMQ为直角，则k （﹣k）=﹣1，k=±1．…11分 若k=1，则直线MQ方程y+1=﹣（x+2），

与椭圆C方程联立，得x+4x+4=0，

该方程有两个相等的实数根﹣2，不合题意； 同理，若k=﹣1也不合题意． 故∠PMQ不可能为直角．…13分

点评： 本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查直线斜率的计算，确定椭圆方程，联立方程是关键．

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