③曲线C上的点到原点距离的最小值为

；

④曲线C与两坐标轴所围成图形的面积是

上述命题中，真命题的个数是（ ） A． 4 B． 3 C． 2 D． 1[:]

考点： 命题的真假判断与应用． 专题： 函数的性质及应用．

分析： 将方程中的x换为y，y换为x，方程不变，判断出①正确；通过对曲线的性质，得到②正确；构造距离关系式，得到③正确，利用积分的几何意义，得到④正确． 解答： 解：对于①：将方程中的x换为y，y换为x，方程不变， 故该曲线C关于直线y=x对称，故①正确； 对于②：根据曲线C：xy=（

2

+y=1，得

），（0≤x≤1），

其中两个端点为A（0，0），B（1，1），

此时|AB|=，

因为该曲线为曲线，

∴曲线C的长度l满足l＞； 故②正确；

对于③：设点P（x，y）为曲线C上任意一点， 则|OP|=x+y =x+（=2x+6x﹣4

22

2

2

2

）， ﹣4

+1

4

∵x∈[0，1]， ∴|OP|的最小值为

，故③正确；

对于④：曲线C与两坐标轴所围成图形的面积设为S，则 S=

（

﹣1）dx=

2

（x﹣2+1）dx=，

故④正确；

综上，①②③④都正确； 故选：A．

点评： 本题考查对称问题、最值问题的处理思路和方法、定积分的基本运算等知识，属于难题．

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填写在题中横线上． 13．复数z=i（i+1）（i为虚数单位）的共轭复数是 ﹣1﹣i ．

考点： 复数的基本概念．