中考数学综合专题训练【二次函数压轴题】提升与解析

6．抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点为A（m－4,0）和B(m,0)，与直线y=－x+p相交于点A和点C(2m－4,m－6).

(1)求抛物线的解析式；

（2）若点P在抛物线上，且以点P和A,C以及另一点Q为顶点的平行四边形ACQP面积为12，求点P,Q的坐标；

（3）在（2）条件下，若点M是x轴下方抛物线上的动点，当⊿PQM的面积最大时，请求出⊿PQM的最大面积及点M的坐标。

【解题思路】(1)求函数关系式的三种方法是一般式，顶点式和交点式。此题可由A,C两点在一次函数图象上，求得m值，从而得出A,C两个点的坐标，进一步确定出B的坐标，然后选取任意一种方法求出抛物线的解析式。

(2)由平行四边形的面积，及一边长，很容易求得高，再由特殊角求出PQ与y轴的交点。结合二次函数求出P,Q的坐标。可能有两种情况，分别讨论。

（3）△PQM中PQ一定，只需PQ上的高最大则△PQM的面积最大。 【答案】解：点A m 4,0 和C 2m 4,m 6 在直线y=－x+p上

m 3 m 4 p 0∴ 解得 ∴A 1,0 ,B 3,0 ,C 2, 3

p 1 2m 4 p m 6

2

设抛物线y ax bx c a x 3 x 1 ∵C 2, 3 ∴a 1

∴抛物线解析式为y x 2x 3

（2）

AC=AC所在直线的解析式为：y x 1，∠BAC=45° ∵ ACQP的面积为12

2

∴ ACQP中AC

中考数学综合专题训练【二次函数压轴题】提升与解析

过点D作DK⊥AC与PQ所在直线相交于点K，

DK=∴DN=4 ∵ ACQP的边PQ所在直线在直线AC的两侧可能各有一条， ∴PQ的解析式为y x 3或y x 5

y x2 2x 3 x1 3 x2 2∴ 解得 或

y1 0 y2 5 y x 3 y x2 2x 3

方程组无解

y x 5

即P2 2,5 1 3,0 ,P

∵四边形ACQP是平行四边形，A 1,0 ,C 2, 3 ∴当P1 6, 3 1 3,0 时，Q当P,2 2 2,5 时，Q2 1

∴满足条件的P,Q点是P,2 1 6, 3 或P2 2,5 ,Q2 11 3,0 ,Q

2

（3）设Mt,t 2t 3, 1 t 3 ，过点M作y轴的平行线，交PQ所在直线点T，则

T t, t 3 ， MT= t 3 t2 2t 3 t2 t 6

过点M作MS⊥PQ所在直线于点S，

2

1 MS=MT t2 t

6 =t 22 2 ∴当t

1 115

时， M , ，△PQM中PQ

边上高的最大值为 28 24

【点评】本题综合性较强，考查了很多基础知识、还要具备较高的空间想象能力、必须考虑

到各种情况，此题的运算量和难度都比较大。

7．如图，在平面直角坐标系中，直线y

331

x 与抛物线y x2 bx c交于A、B424

两点，点A在x轴上，点B的横坐标为－8.

（1）求该抛物线的解析式； （2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂．．线，垂足为C，交直线AB于点D，作PE⊥AB于点E

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