中考数学综合专题训练【二次函数压轴题】提升与解析

11 y=x ，10

解方程 解得x1＝－1，x2＝．x1是E点横坐标，舍去． 33

3 y=x2 2x .

把x2＝

10131013代入y=x2 2x ，得y＝，∴P1（，）． 3939

1

y=x ，7

同理，解方程 解得x1＝0(舍去)，x2＝． 3

3 y=x2 2x .

把x2＝

720720代入y=x2 2x ，得y＝－，∴P2(，－)． 3939

【点评】本题主要考查了二次函数及其运用，①b2－4ac＝0 二次函数y＝ax2+bx+c与

x轴只有一个交点；②对称轴是关于直线对称的两个点的垂直平分线，垂直平分线上的点到线段两个端点到距离相等；③把抛物线上下平移，就是纵坐标进行加减运算，即“上加下减”；④平面上互相垂直的两条直线的比例系数的乘积等于－1．

4． 如图，抛物线y＝轴是x=1.

（1）求抛物线解析式及A，B两点的坐标；

（2）在x轴下方抛物线上是否存在点D，使四边形ABDC的面积是3？若存在，求出点D的

坐标，若不存在，说明理由（使用图1）；

（3）点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形，

请求出所有满足条件的点P的坐标（使用图2）.

图1

图2

12

x―mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交与点C（0，-1）且对称3

【思路分析】（1）根据对称轴公式可求解m,代入C点坐标可求解n；（2）将四边形分

中考数学综合专题训练【二次函数压轴题】提升与解析

割成三角形AOC、OCD、OBD，三角形AOC面积可求，三角形OCD、OBD，的底已知，高分别为点D的横坐标和纵坐标的相反数，根据三个三角形面积和是3列方程求解；（3）通过画图可观察以Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形时，点Q只能在y轴正半轴上，且PQ=AB=4 , PQ ∥AB ,即已知点P横坐标，代入抛物线解析式可求纵坐标．

【答案】解：（1）x=

-m212

=1,∴m=，∴y＝x2―x+n.把C（0，-1）代入得n= -1,13332 3

∴求抛物线解析式是y＝

令0＝

122

x―x-1； 33

122

x―x-1，得x=3或-1，∴A，B两点的坐标分别是（-1,0）（3,0）； 33

（2）存在.

122

x―x-1，连接AC、CD、OD、BD. 33111

∴S△AOC+ S△OCD+ S△OBD=3，∴×1×1+×1×x+×3×(-y)=3,

222

11112

∴+x+×3×(―x2+x+1)=3, 22233

44

解得x=2或1，所以y=-1或-，∴D的坐标是（2，-1）、（1, -）.

33

设D的坐标是（x，y），则y＝

（3）（3）1°当AB为边时：设PQ =AB=4 , PQ ∥AB ,则P点的横坐标是4或-4，把x=4代入y＝

122512

x―x-1得y=;把x= -4代入y＝x2-x-1得y=7，即当P的坐标是（4，33333

5

）或（-4，7）时以Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形. 3

2°当AB为对角线时，则AB与PQ互相平分，线段AB中点是G，PQ过G与y轴交于Q点，过点P作x轴垂线交x轴于H，则△PHG≌△QOC，所以OG=GH，又因为点G的横坐标是1，所以点P的横坐标是2，把x=2代入y＝

122

x-x-1得y= -1，即当P的坐标是（2，33

-1），即当P的坐标是（2，-1））时以Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形.

综上，当P的坐标是（4，

5

）、（-4，7）或（2，-1））时以Q、P、A、B为顶点的四边3

形是平行四边形.

【点评】这类探究类问题首先假设存在，根据图形的存在性，求出符合条件的点的坐标．如果不存在，经过推理论证或计算，能够得出与已知条件或公里相矛盾的结论，从而推出假设错误．