中考数学综合专题训练【二次函数压轴题】提升与解析

中考数学综合专题训练【二次函数压轴题】提升与解析

1. （2011年湖北省武汉市，25，12分）如图1，抛物线y=ax+bx+3经过A（-3，0），B（-1，0）两点. （1）求抛物线的解析式；

（2）设抛物线的顶点为M，直线y=-2x+9与y轴交于点C，与直线OM交于点D.现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上.若平移的抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围；

（3）如图2，将抛物线平移，当顶点至原点时，过Q（0，3）作不平行于x轴的直线交抛物线于E，F两点.问在y轴的负半轴上是否存在点P，使△PEF的内心在y轴上.若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

2

分析：抛物线的解析式的求法及抛物线的平移。

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答案：解：（1）抛物线y=ax+bx+3经过A（-3,0），B（-1,0）两点 ∴9a-3b+3＝0 且a-b+3＝0 解得a＝1

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b＝4∴抛物线的解析式为y=x+4x+3（2）由（1）配方得y=(x+2)-1∴抛物线的顶点M（-2，,1）∴直线OD的解析式为y= 于是设平移的抛物线的顶点坐标为（h，

1x 2

1

h），∴平移的抛物线解析式2

1122

为y=（x-h）+h.①当抛物线经过点C时，∵C（0，9），∴h+h=9，

22

解得h=

-1 45-1--1 . ∴ 当 ≤h< 444

时，平移的抛物线与射线CD只有一个公共点.

（2）当抛物线与直线CD只有一个公共点时，

1

h,y=-2x+9. 2112222

得 x+（-2h+2）x+h+h-9=0，∴△=（-2h+2）-4（h+h-9）=0，

22

由方程组y=（x-h）+

2

解得h=4.

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此时抛物线y=（x-4）+2与射线CD唯一的公共点为（3，3），符合题意. 综上：平移的抛物线与射线CD只有一个公共点时，顶点横坐标的值或取值范围是 h=4或

-1--1 ≤h<. 44

（3）方法1

2

将抛物线平移，当顶点至原点时，其解析式为y=x， 设EF的解析式为y=kx+3（k≠0）.

假设存在满足题设条件的点P（0，t），如图，过P作GH∥x轴，分别过E，F作GH的垂线，垂足为G，H.∵△PEF的内心在y轴上，∴∠GEP=∠EPQ=∠QPF=∠HFP，∴△GEP∽△HFP，...............9分∴GP/PH=GE/HF,

∴-xE/xF=(yE-t)/(yF-t)=(kxE+3-t)/(kxF+3-t) ∴2kxE·xF=（t-3）（xE+xF）

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由y=x，y=-kx+3.得x-kx-3=0.

∴xE+xF=k,xE·xF=-3.∴2k（-3）=（t-3）k,∵k≠0,∴t=-3.∴y轴的负半轴上存在点P（0，-3），使△PEF的内心在y轴上.

方法2 设EF的解析式为y=kx+3（k≠0）,点E，F的坐标

22

分别为（m,m）（n,n）由方法1知：mn=-3.作点E关于y轴的

2

对称点R（-m,m）,作直线FR交y轴于点P，由对称性知∠EPQ=∠FPQ，∴点P就是所求的点.由F,R的坐标，可得直线FR的解析式为y=（n-m）x+mn.当x=0，y=mn=-3,∴P（0，-3）.∴y轴的负半轴上存在点P（0,-3），使△PEF的内心在y轴上. 点评：二次函数是中考考查的必考内容之一，本题是综合考查二次函数的一些基础知识，需要考生熟悉二次函数的相关基本概念即可解题． 2．（如图，在直角坐标系中，已知点A（0，1），B（-4，4），将点B绕点A顺时针方向90°得到点C；顶点在坐标原点的拋物线经过点B． （1）求抛物线的解析式和点C的坐标； （2）抛物线上一动点P，设点P到x轴的距离为d1，点P到点A的距离为d2，试说明d2=d1+1； （3）在（2）的条件下，请探究当点P位于何处时，△PAC的周长有最小值，并求出△PAC的周长的最小值．

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【解题思路】（1）设抛物线的解析式：y=ax2，把B（-4，4）代入即可得到a的值；过点B作BE⊥y轴于E，过点C作CD⊥y轴于D，易证Rt△BAE≌Rt△ACD，得到AD=BE=4，CD=AE=OE-OA=4-1=3，即可得到C点坐标（3，5）；

（2）设P点坐标为（a，b），过P作PF⊥y轴于F，PH⊥x轴于H，则有d1= 又AF=OF-OA=PH-OA=d1-1=

12

a，4

12

a-1，PF=a，在Rt△PAF中，利用勾股定理得到PA=d2= 4

12

a+1，即有结论d2=d1+1； 4

（3）△PAC的周长=PC+PA+5，由（2）得到△PAC的周长=PC+PH+6，要使PC+PH最小，则C、P、H三点共线，P点坐标为（3，的最小值=5+6=11．

【答案】（1）设抛物线的解析式：y=ax2，

∵拋物线经过点B（-4，4），

∴4=a 42，解得a=

9

），此时PC+PH=5，得到△PAC的周长4

1， 4

12

x； 4

所以抛物线的解析式为：y=

过点B作BE⊥y轴于E，过点C作CD⊥y轴于D，如图， ∵点B绕点A顺时针方向90°得到点C， ∴Rt△BAE≌Rt△ACD，

∴AD=BE=4，CD=AE=OE-OA=4-1=3， ∴OD=AD+OA=5， ∴C点坐标为（3，5）； （2）设P点坐标为（a，b），过P作PF⊥y轴于F，PH⊥x轴于H，如图， ∵点P在抛物线y=

12

x上， 4

12a， 41

∴d1= a2，

4

∴b=

∵AF=OF-OA=PH-OA=d1-1=

12

a-1，PF=a， 4

在Rt△PAF中，PA=d2= =

1

AF2 PF2 (a2 1)2 a2

4

12

a+1， 4

∴d2=d1+1；

（3）由（1）得AC=5， ∴△PAC的周长

=PC+PA+5