高数上册答案

y1 y2

xxx x 0 1 x11 x2(1 x1)(1 x2)

所以函数y x在区间( 1)内是单调增加的

1 x (2)对于任意的x1 x2 (0 ) 当x1 x2时 有

x

y1 y2 (x1 lnx1) (x2 lnx2) (x1 x2) l 0

x2

所以函数y x ln x在区间(0 )内是单调增加的

10 设 f(x)为定义在( l l)内的奇函数 若f(x)在(0 l)内单调增加 证明f(x)在( l 0)内也单调增加

证明 对于 x1 x2 ( l 0)且x1 x2 有 x1 x2 (0 l)且 x1 x2 因为f(x)在(0 l)内单调增加且为奇函数 所以

f( x2) f( x1) f(x2) f(x1) f(x2) f(x1)

这就证明了对于 x1 x2 ( l 0) 有f(x1) f(x2) 所以f(x)在( l 0)内也单调增加 11 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间( l l)上的 证明 (1)两个偶函数的和是偶函数 两个奇函数的和是奇函数

(2)两个偶函数的乘积是偶函数 两个奇函数的乘积是偶函数 偶函数与奇函数的乘积是奇函数

证明 (1)设F(x) f(x) g(x) 如果f(x)和g(x)都是偶函数 则 F( x) f( x) g( x) f(x) g(x) F(x)

所以F(x)为偶函数 即两个偶函数的和是偶函数 如果f(x)和g(x)都是奇函数 则

F( x) f( x) g( x) f(x) g(x) F(x) 所以F(x)为奇函数 即两个奇函数的和是奇函数

(2)设F(x) f(x) g(x) 如果f(x)和g(x)都是偶函数 则 F( x) f( x) g( x) f(x) g(x) F(x)

所以F(x)为偶函数 即两个偶函数的积是偶函数 如果f(x)和g(x)都是奇函数 则

F( x) f( x) g( x) [ f(x)][ g(x)] f(x) g(x) F(x) 所以F(x)为偶函数 即两个奇函数的积是偶函数 如果f(x)是偶函数 而g(x)是奇函数 则

F( x) f( x) g( x) f(x)[ g(x)] f(x) g(x) F(x)