高数上册答案

1 两个无穷小的商是否一定是无穷小？举例说明之 解 不一定

例如 当x 0时 (x) 2x (x) 3x都是无穷小 但lim

(x)2 (x)

不是无

x 0(x)3(x)

穷小

2 根据定义证明

2

(1)y x 9当x 3时为无穷小;

x 3

(2)y xsin1当x 0时为无穷小

x

2x 9 |x 3|

证明 (1)当x 3时|y| 因为 0 当0 |x 3| 时 有

x 3

2

|y| x 9 |x 3|

x 3

2x

所以当x 3时y 9为无穷小

x 3

(2)当x 0时|y| |x||sin1| |x 0| 因为 0 当0 |x 0| 时 有

x

|y| |x||sin1| |x 0|

x

所以当x 0时y xsin1为无穷小

x

3 根据定义证明 函数y 1 2x为当x 0时的无穷大 问x应满足什么条件

x

能使|y| 104？

11 2x 2 1 1 2

证明 分析|y| 要使|y| M 只须 2 M 即

xx|x||x|

|x|

1

M 2

1 使当0 |x 0| 时 有1 2x M

xM 2

所以当x 0时 函数y 1 2x是无穷大

x

1 当0 |x 0| 1时 |y| 104 取M 104 则 10 210 2

4 求下列极限并说明理由 证明 因为 M 0