高数上册答案

素都是X中某元素的像 所以f为X到Y的满射

又因为对于任意的x1 x2 必有f(x1) f(x2) 否则若f(x1) f(x2) g[ f(x1)] g[f(x2)] x1 x2

因此f既是单射 又是满射 即f是双射

对于映射g Y X 因为对每个y Y 有g(y) x X 且满足f(x) f[g(y)] Iy y y 按逆映射的定义 g是f的逆映射 5 设映射f X Y A X 证明 (1)f 1(f(A)) A

(2)当f是单射时 有f 1(f(A)) A

证明 (1)因为x A f(x) y f(A) f 1(y) x f 1(f(A)) 所以 f 1(f(A)) A

(2)由(1)知f 1(f(A)) A

另一方面 对于任意的x f 1(f(A)) 存在y f(A) 使f 1(y) x f(x) y 因为y f(A)且f是单射 所以x A 这就证明了f 1(f(A)) A 因此f 1(f(A)) A 6 求下列函数的自然定义域 (1)y x 2

解 由3x 2 0得x 2 函数的定义域为[ 2, )

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(2)y 12

1 x

解 由1 x2 0得x 1 函数的定义域为( 1) ( 1 1) (1 ) (3)y 1 x2

x 解 由x 0且1 x2 0得函数的定义域D [ 1 0) (0 1] (4)y

1 x2

解 由4 x2 0得 |x| 2 函数的定义域为( 2 2) (5)y sin

解 由x 0得函数的定义D [0 ) (6) y tan(x 1)

解 由x 1 (k 0 1 2 )得函数的定义域为x k 1 (k 0 1 2

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