高数上册答案

|x|

lim x 1

x 0x 0xx 0x

|x|x 1 lim (x) lim lim

x 0 x 0 xx 0 x lim (x) lim

lim (x) lim (x)

x 0

x 0

所以极限lim (x)不存在

x 0

7 证明 若x 及x 时 函数f(x)的极限都存在且都等于A 则

x

limf(x) A

x

x

证明 因为limf(x) A limf(x) A 所以 >0 X1 0 使当x X1时 有|f(x) A|

X2 0 使当x X2时 有|f(x) A|

取X max{X1 X2} 则当|x| X时 有|f(x) A| 即limf(x) A

x

8 根据极限的定义证明 函数f(x)当x x0 时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等

证明 先证明必要性 设f(x) A(x x0) 则 >0 0 使当0<|x x0|< 时 有

|f(x) A|<

因此当x0 <x<x0和x0<x<x0 时都有 |f(x) A|<

这说明f(x)当x x0时左右极限都存在并且都等于A 再证明充分性 设f(x0 0) f(x0 0) A 则 >0 1>0 使当x0 1<x<x0时 有| f(x) A< 2>0 使当x0<x<x0+ 2时 有| f(x) A|<

取 min{ 1 2} 则当0<|x x0|< 时 有x0 1<x<x0及x0<x<x0+ 2 从而有 | f(x) A|<

即f(x) A(x x0)

9 试给出x 时函数极限的局部有界性的定理 并加以证明

解 x 时函数极限的局部有界性的定理 如果f(x)当x 时的极限存在 则存在X 0及M 0 使当|x| X时 |f(x)| M

证明 设f(x) A(x ) 则对于 1 X 0 当|x| X时 有|f(x) A| 1 所以 |f(x)| |f(x) A A| |f(x) A| |A| 1 |A|

这就是说存在X 0及M 0 使当|x| X时 |f(x)| M 其中M 1 |A| 习题1 4