高数上册答案

(1)lim2x 1;

x x

21 x

(2)lim

x 01 x

解 (1)因为2x 1 2 1 而当x 时1是无穷小 所以lim2x 1 2

x xxxx

1 x2 1 x1 x2 1lim (2)因为(x 1) 而当x 0时x为无穷小 所以

x 01 x1 x

高数上册答案

6 函数y xcos x在( )内是否有界？这个函数是否为当x 时的无穷大？为什么？

解 函数y xcos x在( )内无界

这是因为 M 0 在( )内总能找到这样的x 使得|y(x)| M 例如

y(2k ) 2k cos2k 2k (k 0 1 2 )

当k充分大时 就有| y(2k )| M

当x 时 函数y xcos x不是无穷大

这是因为 M 0 找不到这样一个时刻N 使对一切大于N的x 都有|y(x)| M 例如

y(2k ) (2k )cos(2k 0(k 0 1 2 )

222

对任何大的N 当k充分大时 总有x 2k N 但|y(x)| 0 M

2

7 证明 函数y 1sin1在区间(0 1]上无界 但这函数不是当x 0+时的无穷

xx

大

证明 函数y 1sin1在区间(0 1]上无界 这是因为

xx

M 0 在(0 1]中总可以找到点xk 使y(xk) M 例如当

x 1(k 0 1 2 )

k

2k 2

时 有

y(xk) 2k

2

当k充分大时 y(xk) M

当x 0+ 时 函数y 1sin1不是无穷大 这是因为

xx

M 0 对所有的 0 总可以找到这样的点xk 使0 xk 但y(xk) M 例如可取

xk 1(k 0 1 2 )

2k当k充分大时 xk 但y(xk) 2k sin2k 0 M

习题1 5

1 计算下列极限

高数上册答案

x2 5

x 2x 3

22x 52 5 9 解 lim

x 2x 32 3

(1)lim

x2 3 (2) x x2 1

2()2 3x 3 解 2 0 x x 1()2 12x 2x 1

(3)lim

x 1x2 1

2(x 1)2x 2x 1x 1 0 0 lim lim 解 limx 1x 1(x 1)(x 1)x 1x 12x 132

4x 2x x

(4)lim

x 03x2 2x

3224x 2x x4x 2x 1 1 lim 解 lim 2x 03x 2xx 03x 22

(x h)2 x2

(5)lim

h 0h

222(x h)2 x2

limx 2hx h x lim(2x h) 2x 解 lim

h 0h 0h 0hh

(6)lim(2 1 1)

x xx2

1 lim1 2 解 lim(2 1 1) 2 lim

x x xx x2xx2

2x 1

(7)lim

x 2x x 1

11

x2 1 lim 1 解 lim2

x 2x x 1x

2 1 122xx

x2 x

x x4 3x2 1

2x x 0

解 lim4(分子次数低于分母次数 极限为零)

x x 3x2 1

(8)lim