高数上册答案

1 即1 分析 要使|0 99 9 1| 1 只须 n 1 lg

1010n 1

证明 因为 0 N [1 lg1] 当 n N时 有|0 99 9 1| 所以

n n个

n

lim0.999 9 1

4 limun a 证明lim|un| |a| 并举例说明 如果数列{|xn|}有极限 但数列

n

{xn}未必有极限

证明 因为limun a 所以 0 N N 当n N时 有|un a| 从而

n

||un| |a|| |un a|

这就证明了lim|un| |a|

n

数列{|xn|}有极限 但数列{xn}未必有极限 例如lim|( 1)n| 1 但lim( 1)n不

n

n

存在

5 设数列{xn}有界 又limyn 0 证明 limxnyn 0

n

n

证明 因为数列{xn}有界 所以存在M 使 n Z 有|xn| M

又limyn 0 所以 0 N N 当n N时 有|yn| 从而当n N时 有 n M |xnyn 0| |xnyn| M|yn| M

M所以limxnyn 0

n

6 对于数列{xn} 若x2k 1 a(k ) x2k a(k ) 证明 xn a(n )

证明 因为x2k 1 a(k ) x2k a(k ) 所以 0 K1 当2k 1 2K1 1时 有| x2k 1 a| K2 当2k 2K2时 有|x2k a|

取N max{2K1 1 2K2} 只要n N 就有|xn a| 因此xn a (n )

习题1 3

1 根据函数极限的定义证明