2016年高考数学高频考点(2)

为4.因为f(x)是定义在R上的偶函数，则f( x) f(x),则f( ) f(), 3

232

711f() f( ) f(),因为当x [0,2]时，f(x) lgx( 1)为增函数，故222

37f( ) f(1) f().故选A. 22

点评 本题集函数的周期性、奇偶性、单调性等于一体考查，是高考命题者惯用的手法，充分体现了高考选择题的“小、巧、精、活”的特点，是一道难得的好题.

押猜题4

（理）已知函数f(x) (1 x)2 ln(1 x)2.

（1）求函数f(x)的单调区间；

（2）若当x [ 1,e 1]时（其中e 2.71828 ），不等式f(x) m恒成立，求实数m的取值范围；

（3）若关于x的方程f(x) x2 x a在区间[0,2]上恰好有两个相异的实根，求实数a的取值范围.

解析 因为f(x) (1 x)2 ln(1 x)2,所以f (x) 2(1 x)

（1）令f (x) 2(1 x) 1e2. 1 x21 2[(1 x) ] 0 2 x 1或x 0，所以1 x1 x

f(x)的单调增区间为( 2, 1)和(0, )； 21 2[(1 x) ] 0 1 x 0或x 2, 令f (x) 2(1 x) 1 x1 x

所以f(x)的单调减区间为( 1,0)和( , 2).

2 0 x 0或x 2, 函数f(x)在（2）令f (x) 0 2(1 x) 1 x

111[ 1,e 1]上是连续的，又f( 1) 2 2,f(0) 1,f(e 1) e2 2,所以，当eee

1x [ 1,e 1]时，f(x)的最大值为e2 2. e

12故x [ 1,e 1]时，若使f(x) m恒成立，则m e 2. e

（3）原问题可转化为：方程a (1 x) ln(1 x)2在区间[0,2]上恰好有两个相异的实根.

2,令g (x) 0,解得：x 1, 1 x

当x (0,1)时，g (x) 0, g(x)在区间(0,1)上单调递减，

当x (1,2)时，g (x) 0, g(x)在区间(1,2)上单调递增.

g(x)在x 0和x 2处连续，

又g(0) 1,g(1) 2 ln4,g(2) 3 ln9,

且2 ln4 3 ln9 1, 当x [0,2]时，g(x)的最大值是1,g(x)的最小值是2 ln4.

在区间[0,2]上方程f(x) x2 x a恰好有两个相异的实根时，实数a的取值范围是：2 ln4 a 3 ln9. 令g(x) (1 x) ln(1 x),则g (x) 1 2

点评 本题考查导数在研究函数性质，不等式恒成立，参数取值范围等方面的应用，充