2016年高考数学高频考点(12)

11 1,f(x)的单调减区间为（，+∞）.依题意，得 a解之得a 1. a a 0.

③当a 0时，f (x) 0(x 0)等价于(2ax 1)(ax 1) 0(x 0),即x 1, 2a

1 1,11 , ).依题意得 2a此时f(x)的单调减区间为( 解之得a . 2a2 a 0.

1综上所述，实数a的取值范围是( , ] [1, ). 2

点评 本题是函数的综合题，考查了函数及其性质、导数及其应用、不等式等基础知识.导数是研究函数性质的有力工具，在探讨极值、单调性、不等式等有关问题时，要充分发挥导数的工具作用.第（2）问将问题转化为二次不等式问题，涉及到对参数a分类讨论，此类试题的解法一定要熟练掌握.

（文）已知函数f(x) x3 bx2 cx d有两个极值点x1 1,x2 2,且直线y 6x 1与曲线y f(x)相切于P点.

（1）求b和c；

（2）求函数y f(x)的解析式；

（3）当d为整数时，求过P点和曲线y f(x)相切于一异于P点的直线方程. 解析 （1）设直线y 6x 1与曲线y x3 bx2 cx d相切于点P(x0,y0). f(x) x3 bx2 cx d有两个极值点x1 1,x2 2,

22于是f (x) 3x 2bx c 3(x 1)(x 2) 3x 9x 6. 9从而b ,c 6. 2

923（2）由（1）可知f(x) x x 6x d,注意到P(x0,y0)为切点， 2

y0 6x0 1,① 92 3则 y0 x0 x0 6x0 d,② 2 ③2 3x 9x 6 6.0 0

923由③求得x0 0或x0 3,由①②联立知d 1 x0 x0. 2

29. 当x0 0时，d 1；当x0 3时，d 2

9929 f(x) x3 x2 6x 1或f(x) x3 x2 6x . 222

（3）由（2）知当d为整数时，d 1符合条件，此时P点坐标为(0,1),设过P(0,1)的

923直线l:y kx 1和y x x 6x 1相切于另一点(x1,y1),则2