大一高数上下册知识点总结,

1

x 1时，收敛于

1 x1 x x2 x3 xn x 1时，发散

对于级数(3)a0 a1x　 a2x2 anxn ，如果它不是仅在原点收敛，也不是在全

x R时收敛

数轴上都收敛，则必存在R，使x R时发散，其中R称为收敛半径。

x R时不定

1

0时，R

求收敛半径的方法：设lim

an 1

，其中an，an 1是(3)的系数，则 0时，R

n an

时，R 0

函数展开成幂级数：

f (x0)f(n)(x0)2

函数展开成泰勒级数：f(x) f(x0)(x x0) (x x0) (x x0)n

n!2!

f(n 1)( )

余项：Rn (x x0)n 1,f(x)可以展开成泰勒级数的充要条件是：limRn 0

n (n 1)!f (0)2f(n)(0)n

x0 0时即为麦克劳林公式：f(x) f(0) f (0)x x x

n!2!

一些函数展开成幂级数：

m(m 1)2m(m 1) (m n 1)n

x x 　　　( 1 x 1)

n!2!

2n 1

x3x5x

sinx x ( 1)n 1 　　　( x )

3!5!(2n 1)!(1 x)m 1 mx

欧拉公式：

eix e ix

cosx 2 eix cosx isinx　　　或 ix ix sinx e e 2

三角级数：

a0

f(t) A0 Ansin(n t n) (ancosnx bnsinnx)

2n 1n 1

其中，a0 aA0，an Ansin n，bn Ancos n， t x。

正交性：1,sinx,cosx,sin2x,cos2x sinnx,cosnx 任意两个不同项的乘积在[ , ]上的积分＝0。

傅立叶级数：