高等数学(同济大学第五版) 第十二章 微分方程

yxee ∫dy=∫dx, 1 ey1+ex

即 ln(e y)=ln(ex+1) lnC,

故通解为(ex+1)(ey 1)=C .

(8)cos x sin ydx+sin x cos ydy=0; 解 分离变量得

cosy

dy= cosxdx, sinysinxcosycosxdx,

dy= ∫siny∫sinx

两边积分得

即 ln(sin y)= ln(sin x)+ln C,

故通解为sin x sin y=C . (9)(y+1)2

dy3

+x=0; dx

解 分离变量得 (y+1)2dy= x3dx, 两边积分得 即

∫(y+1)2dy= ∫x3dx,

1(y+1)3= 1x4+C,

1

34

故通解为4(y+1)3+3x4=C (C=12C1). (10)ydx+(x2 4x)dy=0.

解 分离变量得

4dy=(1+1dx, yx4 x

两边积分得

∫ydy=∫x+4 xdx,

411

即 ln y4=ln x ln(4 x)+ln C ,

故通解为y4(4 x)=Cx .

2. 求下列微分方程满足所给初始条件的特解: (1)y′=e2x y, y|x=0=0; 解 分离变量得 e ydy=e2xdx, 两边积分得