高等数学(同济大学第五版) 第十二章 微分方程

习题12 11

1. 试用幂级数求下列各微分方程的解: (1)y′ xy x=1;

解 设方程的解为y=a0+

∞

∞

∞

anxn, 代入方程得 ∑n=1

nanx∑n=1

n 1

a0x ∑anxn+1 x=1,

n=1

即 (a1 1)+(2a2 a0 1)x+

[(n+2)an+2 an]xn+1=0. ∑n=1

∞

可见 a1 1=0, 2a2 a0 1=0, (n+2)an+2 an=0(n=1, 2, ), 于是 a1=1, a2= a2k 1=

1+a01+a01, a3=, a4=, ,

23!!4!!

1+a01, a2k=, . (2k 1)!!(2k)!!

所以 y=a0+

∑[

k=1∞

∞

1+a2k1x2k 1+x]

(2k 1)!!(2k)!!

∞2121k =a0+∑+(1+a0)∑1xk xk=1(2k 1)!!k=1k!2

= 1+(1+a0

x2

)e2

+∑

1x2k 1, k=1(2k 1)!! 1+∑

1x2k 1. k=1(2k 1)!!

∞

∞

即原方程的通解为

x2

y=Ce2

(2)y′′+xy′+y=0; 解 设方程的解为y=

∞

anxn, 代入方程得 ∑n=0

∞

n 1

∞

n(n 1)anx∑n=2

n 2

+x∑nanx

n=1

+∑anxn=0,

n=0

∞