高等数学(同济大学第五版) 第十二章 微分方程

习题12 1

1. 试说出下列各微分方程的阶数: (1)x(y′)2 2yy′+x=0; 解 一阶. (2)x2y′ xy′+y=0; 解 一阶.

(3)xy′′′+2y′+x2y=0; 解 三阶.

(4)(7x 6y)dx+(x+y)dy=0; 解 一阶.

d2QdQQ

(5)L+R+=0;

dtCdt

解 二阶. (6)

dρ

+ρ=sin2θ. dθ

解 一阶.

2. 指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解: (1)xy′=2y, y=5x2; 解 y′=10x.

因为xy′=10x2=2(5x2)=2y, 所以y=5x2是所给微分方程的解. (2)y′+y=0, y=3sin x 4cos x; 解 y′=3cos x+4sin x.

因为y′+y=3cos x+4sin x+3sin x 4cos x=7sin x cos x≠0, 所以y=3sin x 4cos x不是所给微分方程的解. (3)y′′ 2y′+y=0, y=x2ex;

解 y′=2xex+x2ex, y′′=2ex+2xex+2xex+x2ex=2ex+4xex+x2ex . 因为y′′ 2y′+y=2ex+4xex+x2ex 2(2xex+x2ex)+x2ex=2ex≠0, 所以y=x2ex不是所给微分方程的解.

(4)y′′ (λ1+λ2)y′+λ1λ2y=0, y=C1eλ1x+C2eλ2x.

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解 y′=C1λ1eλ1x+C2λ2eλ2x, y′′=C1λ1eλ1x+C2λ2eλ2x.