高等数学(同济大学第五版) 第十二章 微分方程

习题12 3

1. 求下列齐次方程的通解: (1)xy′ y y2 x2=0;

解 原方程变为 令u=

dyy= 2 1. dxxx

y

, 则原方程化为 x

du=u+2 1, 即1du=1dx,

u+x

2 1

两边积分得

ln(u+2 1)=lnx+lnC, 即u+2 1=Cx, 将u=

y

代入上式得原方程的通解 x

y+2 1=Cx, 即y+y2 x2=Cx2.

dyy=yln; dxx

dyyy=ln. 解 原方程变为

dxxx

y

令u=, 则原方程化为

x

1du=ulnu, 即

u+xdu=1dx,

u(lnu 1)xdx

(2)x

两边积分得

ln(ln u 1)=ln x+ln C, 即u=eCx+1, 将u=

y

代入上式得原方程的通解 x

y=xeCx+1.

(3)(x2+y2)dx xydy=0;

y

, 即y=xu, 则原方程化为 x

1 (x2+x2u2)dx x2u(udx+xdu)=0, 即udu=dx, x

解 这是齐次方程. 令u=