高等数学(同济大学第五版) 第十二章 微分方程

将u=

y

代入上式得原方程的通解 x

y2=2x2(ln x+C).

由y|x=1=2得C=2, 故所求特解为y2=2x2(ln x+2).

(3)(x2+2xy y2)dx+(y2+2xy x2)dy=0, y|x=1=1. 解 这是齐次方程. 令u=

y

, 即y=xu, 则原方程化为 x

(x2+2x2u x2u2)dx+(x2u2+2x2u x2)(udx+xdu)=0,

u2+2u 1du= 1dx,

xu3+u2+u+1

1 2udu=1dx,

或 (

u+1u2+1x

即

两边积分得

ln|u+1| ln(u2+1)=ln|x|+ln|C|, 即u+1=Cx(u2+1), 将u=

y

代入上式得原方程的通解 x

x+y=C(x2+y2).

由y|x=1=1得C=1, 故所求特解为x+y=(x2+y2).

3. 设有连结点O(0, 0)和A(1, 1)的一段向上凸的曲线弧OA, 对于OA上任一点P(x, y), 曲线弧OP与直线段所围图形的面积为x2, 求曲线弧OA的方程. 解 设曲线弧OA的方程为y=y(x). 由题意得

∫0y(x)dx 2xy(x)=x2,

1y(x) 1xy′(x)=2x, 22

x

1

两边求导得 y(x) 即 y′=令u=

y

4. x

y

, 则有 x

du=u 4, 即1du= 4dx,

u+x

dxux

两边积分得