高等数学(同济大学第五版) 第十二章 微分方程

(1 x)

nanx∑n=1

∞

n 1

+∑anxn=1+x,

n=1

∞

即 a1+比较系数得

[(n 1)an+1+(1 n)an]xn=1+x. ∑n=1

1, a=n 2a=1(n≥3).

n2nn 1n(n 1)

∞

a1=1, a2=因此所求特解为

∞∞112n y=x+x+∑x=x+∑1xn. 2n=3n(n 1)n=2n(n 1)

因为

1xn的和函数为(1 x)ln(1 x)+x, 所以特解还可以写成 ∑n=2n(n 1)

∞

y=2x+(1 x)ln(1 x)+x. (3)

d2x+xcost=0, x|=a, dx|=0.

t=0

dtt=0dt2

antn. ∑n=2

∞

解 根据初始条件, 可设方程的解为x=a+

∞

∞∞2( 1)n2ndxn2 将x=a+∑ant, =∑n(n 1)ant和cost=∑t代 2(2)!ndtn=2n=2n=0

n

入方程得

n(n 1)ant∑n=2

∞

n 2

( 1)n2n

+(a+∑ant)∑t=0.

n=2n=0(2n)!

n

∞∞

将级数展开、整理合并同次项, 并比较系数得 a0=a, a1=0, a2=

a, a=0, a=2a,

4

2!34!

9a, a=0, a=55a, .

a5=0, a6= 78

6!8!

12+2t4 9t6+55t8+ . 2!4!6!8!

故所求特解为 x=a(1