高等数学(同济大学第五版) 第十二章 微分方程

令u=

x, 则原方程化为 y

u2(u 1)euduu+2edu= = u+y, 即y, dydy1+2eu1+2e

分离变量得

u

e1+21dy, du=

yu+2e两边积分得

ln(u+2eu)= ln y+ln C, 即y(u+2eu)=C, 将u=

x代入上式得原方程的通解 y

x

x

x y(+2ey)=C, 即x+2yey=C. y

2. 求下列齐次方程满足所给初始条件的特解: (1)(y2 3x2)dy+2xydx=0, y|x=0=1; 解 这是齐次方程. 令u=

y

, 即y=xu, 则原方程化为 x

(x2u2 3x2)(udx+xdu)+2x2udx=0,

2u 3du=1dx, 或( 3+1+1du=1dx

即

xuu+1u 1xu u两边积分得

3ln |u|+ln|u+1|+ln|u 1|=ln|x|+ln|C|, 即u2 1=Cxu3, 将u=

y

代入上式得原方程的通解 x

y2 x2=Cy3.

由y|x=0=1得C=1, 故所求特解为y2 x2=y3. (2)y′=

x+y, y|=2;

x=1

yxy

解 令u=, 则原方程化为

x

du=1+u, 即udu=1dx,

u+x

dxux

1u2=lnx+C, 2

两边积分得