高等数学(同济大学第五版) 第十二章 微分方程

因为y′′ (λ1+λ2)y′+λ1λ2y

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=C1λ1eλ1x+C2λ2eλ2x (λ1+λ2)(C1λ1eλ1x+C2λ2eλ2x)+λ1λ2(C1eλ1x+C2eλ2x)

=0,

所以y=C1eλ1x+C2eλ2x是所给微分方程的解.

3. 在下列各题中, 验证所给二元方程所确定的函数为所给微分方程的解: (1)(x 2y)y′=2x y, x2 xy+y2=C; 解 将x2 xy+y2=C的两边对x求导得 2x y xy′+2y y′=0, 即 (x 2y)y′=2x y,

所以由x2 xy+y2=C所确定的函数是所给微分方程的解. (2)(xy x)y′′+xy′2+yy′ 2y′=0, y=ln(xy). 解 将y=ln(xy)的两边对x求导得 y′=再次求导得

1+1y′, 即y′=y. xyxy x

y′(xy x) y(y+xy′ 1) xy′ y2+y1( xy′2 yy′+y′).

y′′===

xy xy(xy x)2(xy x)2

注意到由y′=

1+1y′可得xy′=xy′ 1, 所以

xyy

1 [ (xy′ 1)y′ yy′+y′]=1 ( xy′2 yy′+2y′),

y′′=

xy xxy x

即由y=ln(xy)所确定的函数是所给微分方程的解.

从而 (xy x)y′′+xy′2+yy′ 2y′=0,

4. 在下列各题中, 确定函数关系式中所含的参数, 使函数满足所给的初始条件: (1)x2 y2=C, y|x=0=5;

解 由y|x=0=0得02 52=C, C= 25, 故x2 y2= 25. (2)y=(C1+C2x)e2x, y|x=0=0, y′|x=0=1; 解 y′=C2e2x+2(C1+C2x)e2x .