高等数学(同济大学第五版) 第十二章 微分方程

由y|x=0=0, y′|x=0=1得

C1=0

,

+=1CC 21

解之得C1=0, C2=1, 故y=xe2x .

(3)y=C1sin(x C2), y|x=π=1, y′|x=π=0. 解 y′=C1cos(x C2). 由y|x=π=1, y′|x=π=0得

C1sin(π C2)=1 CsinC2=1

, 即 1,

cos( )=0 cos=0CπCCC22 1 1

解之得C1=1, C2=

π, 故y=sin(x π, 即y= cos x .

2

2

5. 写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程: (1)曲线在点(x, y)处的切线的斜率等于该点横坐标的平方;

解 设曲线为y=y(x), 则曲线上点(x, y)处的切线斜率为y′, 由条件y′=x2, 这便是所求微分方程.

(2)曲线上点P(x, y)处的法线与x轴的交点为Q, 且线段PQ被y轴平分. 解 设曲线为y=y(x), 则曲线上点P(x, y)处的法线斜率为 坐标为0, 所以Q点的坐标为( x, 0), 从而有

1, 由条件第PQ中点的横

yy 0

= 1, 即yy′+2x=0. x+xy 6. 用微分方程表示一物理命题: 某种气体的气压P对于温度T的变化率与气压成正比, 所温度的平方成反比. 解

dP=kP, 其中k为比例系数. dTT