高等数学(同济大学第五版) 第十二章 微分方程

解 由题设知,

dR= λR, 即dR= λdt, dtR

两边积分得

ln R= λt+C1, 从而 R=Ce λt (C=eC1).

因为当t=0时, R=R0, 故R0=Ce0=C, 即R=R0e λt. 又由于当t=1600时, R=因此

ln2R=R0e1000

1R, 故1R=Re 1600λ, 从而λ=ln2. 202001600

=R0e 0.000433t.

6. 一曲线通过点(2, 3), 它在两坐标轴间的任一切线线段均被切点所平分, 求这曲线

方程.

解 设切点为P(x, y), 则切线在x轴, y轴的截距分别为2x, 2y, 切线斜率为

2y 0y

= , 0 2xx

dyy

= , 即1dy= 1dx, dxxyx

故曲线满足微分方程:

从而 ln y+ln x=ln C, xy=C .

因为曲线经过点(2, 3), 所以C=2×3=6, 曲线方程为xy=6.

7. 小船从河边点O处出发驶向对岸(两岸为平行直线). 设船速为a, 船行方向始终与河岸垂直, 又设河宽为h, 河中任一点处的水流速度与该点到两岸距离的乘积成正比(比例系数为k). 求小船的航行路线.

解 建立坐标系如图. 设t时刻船的位置为(x, y), 此时水速为v=dx=ky(h y)dt .

又由已知, y=at, 代入上式得 dx=kat(h at)dt , 积分得

x=kaht2 ka2t3+C. 由初始条件x|t=0=0, 得C=0, 故x= 因此船运动路线的函数方程为

dx=ky(h y), 故dt

1213

1kaht2 1ka2t3. 23